第7章 第5节 空间向量的运算及应用(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　空间向量的运算及应用 [考试要求]　1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4．理解直线的方向向量及平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 [常用结论] 1．对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线． 2．对空间任一点O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面． 3．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面． (　　) (2)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0． (　　) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c． (　　) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　　) A．α∥β　　　　 B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对 C　[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．] 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c A　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c．] 3．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________． 　[∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1， ∴t＝．] 4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________． 　[||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以||＝，所以EF的长为．] 考点一　空间向量的线性运算 　用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来． 1．(2023·四川雅安中学高二阶段练习)设