第6章 数学文化1 数列与数学文化(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，本专题通过对典型考题的分析，让考生提高审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养. 等差数列中的数学文化 　我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤．”若从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则下列说法正确的是(　　) A．该金锤中间一尺重3.5斤 B．中间三尺的质量和是头尾两尺质量和的3倍 C．该金锤的质量为15斤 D．该金锤相邻两尺的质量之差为1.5斤 C　[设该等差数列为{an}，公差为d，a5＝2，a1＝4，则4＋4d＝2，解得d＝－． ∴an＝4－(n－1)＝． ∴a3＝3，S5＝＝15， ∴a2＋a3＋a4＝＋3＋＝9，a5＋a1＝6．故选C．] [评析]　以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等． 　(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) 图1 图2 A．0.75　　B．0.8　　C．0.85　　D．0.9 D　[如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1．因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝＝＝0.725，解得k3＝0.9．故选D． ] 等比数列中的数学文化 　十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为(　　) A．2　　B．2　　C．2　　D．2 B　[根据题意，设这个等比数列为{an}，设其公比为q，又由a1＝1，a13＝2，则q12＝＝2， 插入的第四个数应为a5＝a1q4＝q4＝2．故选B．] [评析]　以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等． 　(2022·四川雅安二模)造纸术是我国古代四大发明之一，现在我国纸张的规格采用国际标准，常用的A4复印纸是幅面采用A系列的A0，A1，A2，…，A10规格的一种．其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽(用x表示)和长度(用y表示)的比例关系是x∶y＝1∶；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格．将A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成A2规格．……，如此继续对开，得到一张A4纸的面积为624 cm2，则一张A0纸的面积为________cm2． 9 984　[设A0，A1，A2，…，A10对应的面积是S1，S2，S3，…，S11， 则S1，S2，S3，…，S11是以为公比的等比数列， 由A4纸的面积S5＝624 cm2， 可得A0纸的面积S1＝＝9 984 cm2．] 递推数列中的数学文化 　九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下5个环所需的最少移动次数为(　　) A．7　　B．10　　C．16　　D．22 C　[数列{an}满足a1＝1，且an＝所以a2＝1，a