第6章 核心素养4 用数学语言表达世界——数列中等量关系的建立(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中用数学的思想分析数据间的内在联系，用数学语言表述其内在关系，用数列的方法求解数列模型，并用数学结论指导实际问题的过程，也是近几年高考所考查的数学探索、发现、应用的动向之一，因此备考中应引起足够的重视. 直接借助等差(等比)数列的知识建立等量关系 　从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加． (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ [解]　(1)第1年投入为800万元， 第2年投入为800×万元， …， 第n年投入为800×万元， 所以，n年内的总投入为： an＝800＋800×＋…＋800× ＝4 000×， 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×万元， …， 第n年旅游业收入400×万元． 所以，n年内的旅游业总收入为 bn＝400＋400×＋…＋400× ＝1 600×． (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0， 即1 600×－4 000×＞0， 化简得5×＋2×－7＞0， 令x＝，代入上式得：5x2－7x＋2＞0． 解得x＜，或x＞1(舍去)． 即＜，由此得n≥5． ∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入． [评析]　本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点，正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，第(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧． 　市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式： ①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：每月的还款额均相同． 银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2023年7月7日贷款到账，则2023年8月7日首次还款)．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%． (1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4 900元，最后一个还款月应还2 510元，试计算该笔贷款的总利息； (2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)； 参考数据：1.004240≈2.61． (3)对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． [解]　(1)由题意可知，等额本金还款方式中， 每月的还款额构成等差数列，记为{an}， 用Sn表示数列{an}的前n项和， 则a1＝4 900，a240＝2 510， 则S240＝＝889 200， 故小张的该笔贷款的总利息为889 200－600 000＝289 200(元)． (2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式， 则x＋x(1＋0.004)＋x(1＋0.004)2＋…＋x(1＋0.004)239＝600 000×(1＋0.004)240， 所以x＝600 000×1.004240， 即x＝ ≈≈3 891， 因为3 891＜10 000×＝5 000， 所以小张该笔贷款能够获批． (3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为 3 891×240－600 000＝333 840(元)， 因为333 840＞289 200， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式． 借助数列的递推关系建立等量关系 　某企业年初在一个项目上投资2 000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过n(n∈N*)年后，该项目的资金为an万元． (1)求a1和a2的值； (2)求证：数列{an－1 000}为等比数列； (3)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？(lg 3≈0.5，lg 2≈0.3) [解]　(1)由题意知a1＝2 000(1＋50%)－500＝2 500， a2＝2 500(1＋50%)－500＝3 250． (2)证明：由题意知an＝(1＋50%)an－1－500(n≥2)， 即an＝an－1－500，所以an－1 000＝(an－1－1 000)(n≥2)． 所以数列{an－1 000}的首项为a1－1 000＝1 500， 所以{an－1 000}是首项为1 500，公比为的等比数列