第6章 第4节 数列求和(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　数列求和 [考试要求]　1．掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d． (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的四种变形： ①＝－； ②＝； ③＝－； ④loga＝loga(n＋1)－logan(n＞0，a＞0且a≠1)． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知各项均不为零的等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则有＝． (　　) (2)当n≥2时，＝． (　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得． (　　) (4) 利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　) A．1　　B．　　C．　　D． B　[∵an＝＝－， ∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…＋－＝．] 2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 C　[Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n ＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2．] 3．Sn＝＋＋＋…＋等于(　　) A． B． C． D． B　[由Sn＝＋＋＋…＋，① 得Sn＝＋＋…＋＋，② ①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－ ＝－， ∴Sn＝．] 4．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________． 9　[S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9．] 考点一　分组求和与并项求和 　分组转化法求和的常见类型 (1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论． [典例1]　(2022·北京高三二模)已知数列{an}中，a1＝1，且满足________． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an＋2n－1}的前n项和Sn． 从①an＋1＝2an(n∈N*)；②an＋1－an＝2(n∈N*)；③an＋1＋an＝2(n∈N*)这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答． [解]　若选①， (1)由an＋1＝2an(n∈N*)，得＝2， 因为a1＝1，所以数列{an}是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以an＝1×2n－1＝2n－1． (2)由(1)得an＋2n－1＝2n－1＋2n－1＝2n，则 Sn＝21＋22＋23＋…＋2n＝＝2(2n－1)＝2n＋1－2． 若选②， (1)因为an＋1－an＝2(n∈N*)，a1＝1， 所以数列{an}是以2为公差，1为首项的等差数列， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1． (2)由(1)得an＋2n－1＝2n－1＋2n－1，则 Sn＝(1＋20)＋(3＋21)＋(5＋22)＋…＋[(2n－1)＋2n－1] ＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)＝＋＝n2＋2n－