第6章 第3节 等比数列及其前n项和(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　等比数列及其前n项和 [考试要求]　1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m． (2)前n项和公式： Sn＝ [常用结论] 等比数列的常用性质 (1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a． (2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列． (3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． (　　) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab． (　　) (3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列． (　　) (4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝． (　　) (5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 二、教材习题衍生 1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　) A．5　　B．±5　　C．4　　D．±4 C　[∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4． 又∵a5＝a3q2＞0，∴a5＝4．] 2．在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为(　　) A．　　B．－3　　C．－　　D．－3或 D　[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得 q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－． ∴a2＝＝或－3．故选D．] 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵Sn＝126，∴＝126， 解得n＝6．] 4．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB＝210 MB)． 39　[由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}， 且a1＝2，q＝2，∴an＝2n， 则2n＝8×210＝213，∴n＝13． 即病毒共复制了13次． ∴所需时间为13×3＝39(秒)．] 考点一　等比数列基本量的运算 　等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)． (2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论． 1．(2023·吉林东北师大附中高三月考)正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q＝(　　) A．2　　B．±2　　C．4　　D． A　[因为S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，S4＝3＋a3＋a4＝3＋a1(q2＋q3)＝15， 解得q＝2或q＝－2(舍去)．] 2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　B．12　　C．6　　D．3 D　[设等比数列{an}的公比为q，q≠0， 若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1， 则解得 所以a6＝a1q5＝3． 故选D．] 3．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝14，S6＝，则a5＝(　　) A．2　　B．　　C．4　　D． B　[当公比q＝1时，S3＝3a1，可得a1＝，代入S6＝6a1＝28，与S6＝矛盾，所以q≠1，由等比数列的前n项和公式Sn＝ ， 可得 两式相除，得1＋q3＝，可解得q＝， 当q＝时，代入原式可求得a1＝8，则由等比数列的通项公式可得a5＝a1q4＝8×＝．] 考点二