第5章 第4节 数系的扩充与复数的引入(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　数系的扩充与复数的引入 [考试要求]　1．理解复数的概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法及其几何意义．3．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义． 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． (2)复数的分类 (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量． 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [常用结论] 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∈C，则a2≥0． (　　) (2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数． (　　) (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi． (　　) (4)方程x2＋x＋1＝0没有解． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 A　[∵z为纯虚数，∴∴x＝－1．] 2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i D　[∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D．] 3．设复数z满足＝i，则|z|等于(　　) A．1 B． C． D．2 A　[＝i，则z＝＝i，∴|z|＝1．] 4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________． 2＋i　[由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i． ∴z＝2＋i．] 考点一　复数的有关概念 　解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b． (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0． (4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0． 1．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a ＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2 A　[＝1＋2i，z＋a ＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(2a－2)i， 由z＋a ＋b＝0，得即 故选A．] 2．(2023·江苏镇江高三模拟)设z是复数，则下列命题中正确的是(　　) A．若z是纯虚数，则z2≥0 B．若z的实部为0，则z为纯虚数 C．若z－＝0，则z是实数 D．若z＋＝0，则z是纯虚数 C　[对于A选项，若z为纯虚数，可设z＝bi(b∈R，b≠0)，则z2＝－b2<0，A选项错误； 对于B选项，取z＝0，则z为实数，B选项错误； 对于C选项，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝2bi＝0，则b＝0，∴z＝a∈R，C选项正确； 对于D选项，取z＝0，则z＋＝0，但z＝0∈R，D选项错误．] 3．(2022·山东聊城高三三模)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数