第5章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　平面向量的数量积与平面向量应用举例 [考试要求]　1．理解平面向量的数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a|·|b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 3．平面向量的数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 4．平面向量的数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与 |a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· 提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． [常用结论] 1．平面向量的数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2． 2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 3．a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量． (　　) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． (　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0． (　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11 C　[∵a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3．] 2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于(　　) A．13＋6 B．2 C． D． D　[∵a＝(1，1)，∴|a|＝＝． ∴a·b＝|a||b|cos 45°＝2×＝2． ∴|3a＋b|＝ ＝＝．故选D．] 3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________． 8　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)， ∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得 (a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8．] 4．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ＝________，a在b方向上的投影为________． 　－　[cos θ＝＝＝－． 又因为0≤θ≤π，所以θ＝．a在b方向上的投影为＝＝－．] 考点一　平面向量的数量积的运算 　平面向量的数量积的三种运算方法 [典例1]　(1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________． [四字解题] 读 想 算 思 求· (1)数量积的计算方法；　 (2)用哪个方法好？ 用恰当的基底或坐标表示两个向量 转化与化归 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE (1)基向量法1； (2)基向量法2； (3)基向量法3； (4)坐标法1； (5)坐标法2 (1)几何法计算线段与夹角； (2)用基底或坐标表示与； (3)计算数量积 (1)向量的线性运算法则； (2)数量积计算公式 －1　[法一：如图，因为AD∥BC，且∠DAB＝30°， 所以∠ABE＝30°． 又因为AE＝BE，所以∠EAB＝30°． 所以∠E＝120°． 所以在△AEB中，AE＝BE＝2． 所以·＝(