第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　平面向量的基本定理及坐标表示 [考试要求]　1．了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0． [常用结论] 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0． 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为． 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G ． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． (　　) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的． (　　) (3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 二、教材习题衍生 1．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　) A．(－2，－1) B．(－2，1) C．(－1，0) D．(－1，2) D　[∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)， ∴a＝，b＝， ∴a－b＝＝(－1，2)，故选D．] 2．若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　) A．(2，2) B．(3，－1) C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1) D　[由题意可知＝(3，－3)． 若＝，则P点坐标为(2，2)； 若＝，则P点坐标为(3，1)，故选D．] 3．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________． －　[由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)， 得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb与a－2b共线， 得＝，所以＝－．] 4．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________． (1，5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得] 考点一　平面向量基本定理的应用 　平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． 　如图，已知在△OCB中，点A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b． (1)用a和b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． [解]　(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则， 得＋＝2， 所以＝2－＝2a－b， ＝－＝(2a－b)－b＝2a－b． (2)由题意知，＝λ＝λa． 因为＝－＝(2a－b)－λa ＝(2－λ)a－b，＝2a－b， ∥，故设＝x． 所以(2－λ)a－b＝x． 因为a与b不共线，由平面向量基本定理， 得解得故λ＝． 点评：本例(2)在求解中，由DC和OA交于点E，得到O，E，A共线且D，E，C共线，已有＝λ，故需利用D，E，C共线求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设＝x＋(1－x)·，利用＝＋及同基底下向量表示的唯一性求得λ． [跟进训练] 1．(2023·四川泸县一中模拟预测)若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2 C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋e2 B　[由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2非零不共线， 由一组基底必不共线，可得： 对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符合题意； 对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不