第5章 备考技法5 平面向量中的最值(范围)问题(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程等有关知识来解决． 数量积的最值(范围)问题 　(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] D　[建立如图所示的平面直角坐标系，由题易知，C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)， ∵PC＝1，∴设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π]， ·＝(3－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，4－sin θ)＝－3cos θ－4sin θ＋cos2θ＋sin2θ＝1－5sin(θ＋φ)∈[－4，6]，其中sin φ＝，cos φ＝，故选D．] [评析]　设a，b是平面内的两个向量，则有a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]；极化恒等式的几何意义是在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则·＝AD2－BD2． 具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让”秒杀“向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 　(1)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 (2)在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________． (1)B　(2)－　[(1)法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2， 图① 则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．而2＝＝， 当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取得最小值，最小值为－22＝－2×＝－． 法二：(坐标法)如图②，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－． 图② (2)法一：(极化恒等式) 如图①，取OB的中点D，连接PD，则·＝PD2－OD2＝PD2－，即求PD的最小值． 图① 由图可知，当PD⊥AB时，PDmin＝， 则·的最小值是－． 法二：(坐标法) 以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，则A，O，B， 图② 可得直线AB的方程为2x＋y＝1， 设P， 则＝， ＝， 所以·＝4x2－3x＋＝4－， 当x＝时，·的最小值是－．] 模的最值问题 　已知平面向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝1，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为，则cos θ＝(　　) A． B． C．± D．0 B　[法一：(函数法)根据题意，|a|＝2，|b|＝1，a，b的夹角为θ，则a·b＝2cos θ，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为，则|a－λb|2的最小值为3， 则|a－λb|2＝a2＋λ2b2－2λa·b ＝4＋λ2－4λcos θ＝(λ－2cos θ)2＋4－4cos2 θ， 故当λ＝2cos θ时，|a－λb|2取得最小值3， 即有4－4cos2θ＝3，即cos θ＝±， 又由λ＞0，则cos θ＝，故选B． 法二：(数形结合法)如图，设＝a，＝λb(λ＞0)，则|a－λb|＝||，易知当BA⊥OA时，|a－λb|取得最小值，此时sin θ＝，cos θ＝．故选B．] [评析]　模的最值问题求解方法，一种是借助函数，另一种是借助向量的几何意义．前者可以建系借助坐标法求解，后者常用三角形法则数形结合求解． 　已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________． ＋1　[设＝a，＝b，＝c，以OA所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标