第5章 备考技法4 共线定理的推广及应用(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

平面向量的等和线 由平面向量基本定理，＝λ＋μ，当点P不在直线AB上时，可以过点P作直线AB的平行线，且与OA，OB所在的直线分别交于M，N两点，则由P，M，N三点共线，不难得出：＝x＋y，且x＋y＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：＝k，＝k，则＝x＋y＝kx＋ky，即λ＝kx，μ＝ky，故λ＋μ＝k(x＋y)＝k． 把过点P所作的直线AB的平行线MN称为等和线． 等和线的相关结论 (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O时，k＝0； (5)若两等和线关于点O对称，则定值k互为相反数． 　在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　) A．3 B．2 C． D．2 A　[如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝＝＝＝3，故选A．] [评析]　应用等和线解题的步骤 (1)求k＝1的等和线； (2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值． 1．如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________． [3，4]　[当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3，4]． ] 2．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是______． [1，3]　[＝x＋3y，如图，作＝， 则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的等和线，当C在B点时，经过m＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x＋3y的取值范围是[1，3]．] 3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量＝m＋n(m，n为实数)，则m＋n的取值范围是(　　) A．(1，2] B．[5，6] C．[2，5] D．[3，5] C　[随着动点圆心Q在线段CD(含端点)上运动，点P的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF的平行线l，使得l与阴影区域有公共点，离BF最近的直线l记为P1G(P1为l与圆C的切点，G为l与直线AB的交点)，离BF最远的直线l记为P2H(P2为l与圆D的切点，H为l与直线AB的交点)． 设＝m＋n， 由等和线结论，m＋n＝＝＝2． 此为m＋n的最小值． 设＝m＋n， 由等和线结论，m＋n＝＝5． 此为m＋n的最大值． 综上可知，m＋n∈[2，5]．] 1/4 学科网（北京）股份有限公司 $