第4章 第4节 三角函数的图象与性质(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　三角函数的图象与性质 [考试要求]　1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性． 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 单调性 递增区间： ，k∈Z， 递减区间： ，k∈Z 递增区间： [2kπ－π， 2kπ]，k∈Z， 递减区间： [2kπ，2kπ ＋π]，k∈Z 递增区间 ，k∈Z 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 对称中心 ，k∈Z 对称中心 ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) 对称轴 x＝kπ(k∈Z) 周期性 2π 2π π 提醒：(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调． (2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆． [常用结论] 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． (　　) (2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1． (　　) (3)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称． (　　) (4)y＝sin|x|与y＝|sin x|都是周期函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 A　[T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A．] 2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　) A． B． C． D． D　[由2x≠kπ＋，k∈Z， 得x≠＋，k∈Z， ∴y＝tan 2x的定义域为．] 3．已知f (x)＝sin－2sin x，x＝m是f (x)的一条对称轴，则的最小值为(　　) A． B． C． D． B　[∵f (x)＝sin－2sin x ＝－ sin x＋cos x＝cos，又x＝m是f (x)的一条对称轴， ∴m＋＝kπ，k∈Z，即m＝kπ－，k∈Z， ∴的最小值为．] 4．y＝sin的单调递减区间是________． (k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．] 5．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________． 5　＋2kπ(k∈Z)　[函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝π＋2kπ(k∈Z)．] 考点一　三角函数的定义域 　三角函数定义域的求法 (1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)． (2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线． (3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z求解． 1．函数y＝的定义域为________． 　[要使函数有意义，必须有 即故函数的定义域为．] 2．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________． 　[函数有意义，则即 解得 所以2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数的定义域为．] 3．函数y＝的定义域为________． 　[法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0．利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．