第4章 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

第2课时　简单的三角恒等变换 考点一　三角函数式的化简 　 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 1．化简：＝________． 2cos α　[＝ ＝2cos α．] 2．化简：·＝________． 　[原式＝tan(90°－2α)·＝·＝·＝．] 3．－2cos 10°＝________． 　[原式＝－2cos 10° ＝＝ ＝ ＝cos 30°＝．] 点评：(1)化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等． (2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用． 考点二　三角函数式的求值 　三角函数式求值的三种题型 (1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值． (2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系． (3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数． 　给角求值 [典例1－1]　[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________． 　[原式＝·sin 80°＝·cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝．] 　给值求值 　已知＝－，求sin的值． [解]　法一：由＝＝－，解得tan α＝－或tan α＝2． 当tan α＝－时，α可能为第二象限角或第四象限角． 若α为第二象限角， sin α＝，cos α＝－， 所以sin 2α＝－，cos 2α＝． 若α为第四象限角，则 sin α＝－，cos α＝， sin 2α＝－，cos 2α＝． 把sin 2α＝－，cos 2α＝代入求值， 得sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝． 当tan α＝2时，α可能为第一象限角或第三象限角，若α为第一象限角，则 sin α＝，cos α＝，所以sin 2α＝，cos 2α＝－． 若α为第三象限角，则 sin α＝－，cos α＝－， 所以sin 2α＝，cos 2α＝－． 把sin 2α＝，cos 2α＝－代入求值， sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝． 所以sin＝． 法二：由＝＝－， 解得tan α＝－或tan α＝2． 根据公式sin 2α＝，cos 2α＝， 可得当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝； 当tan α＝2时，sin 2α＝，cos 2α＝－， 两种情况的结果都是sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝． 法三：由＝＝－， 解得tan α＝－或tan α＝2． sin＝(sin 2α＋cos 2α) ＝(2sin αcos α＋cos2α－sin2α) ＝× ＝×． 将tan α＝－或tan α＝2代入上式均有sin＝． 法四：因为＝＝－， 所以sin αcos＝－cos α·sin． ① 又＝－α， 所以sin ＝sin ＝sincos α－cossin α ＝． ② 由①②，得sin αcos＝－， cos αsin＝， 把2α＋拆分为α＋， 可得sin＝sin ＝sin αcos＋cos α·sin＝． 　给值求角 [典例1－3]　(1)(2023·贵州贵阳市高三模拟)已知α，β∈，若tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根，则α＋β＝(　　) A．－或 B．－ C． D． (2)(2022·北京房山区高三一模)若实数α，β满足方程组则β的一个值是________． (1)C　(2)0(答案不唯一)　[(1)因为tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根，可得tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝5． 所以tan α，tan β均为正数，又α，β∈，故α，β∈， 所以tan(α＋β)＝＝＝－．又α＋β∈(0，π)，故α＋β＝． (2)由 得 所以(2cos α)2＋(2sin α)2＝(2cos β－1)2＋(2sin β－)2， 所以4＝4cos2β－4cos β＋1＋4sin2β－4sin β＋3， 所以sin β＋cos β＝1， 所以sin＝，所以β＋＝2kπ＋或β＋＝2kπ＋，k∈Z