第4章 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　三角恒等变换 [考试要求]　1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝． 提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况． (2)二倍角是相对的，如是的2倍，3α是的2倍． 3．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ) ． [常用结论] 1．公式的常用变式 tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； sin 2α＝＝； cos 2α＝＝． 2．降幂公式 sin2α＝；cos2α＝； tan2α＝． 3．升幂公式 1＋cos α＝2cos2； 1－cos α＝2sin2； 1＋sin α＝； 1－sin α＝． 4．半角正切公式 tan ＝＝． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　) (2)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关． (　　) (3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2． (　　) (4)当α是第一象限角时，sin ＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos为(　　) A． B．－ C． D．－ A　[∵cos α＝－，α是第三象限角， ∴sin α＝－＝－． ∴cos＝(cos α－sin α)＝ ＝．故选A．] 2．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　[∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝， ∴sin 2α＝－．故选A．] 3．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________． 　[原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°) ＝sin 30°＝．] 4．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________． 　[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝．] 第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 考点一　公式的直接应用 　应用公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律． 例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [典例1]　(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A． B． C． D． (2)已知sin α＝，α∈，tan (π－β)＝，则tan (α－β)的值为(　　) A．－ B． C． D．－ (3)(2022·四川绵阳一模)若tan α＝5tan，则＝________． (1)A　(2)A　(3)　[(1)由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cos α＝5， 即3cos2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)． 又∵α∈(0，π)，∴sin α＞0， ∴sin α＝＝＝．故选A． (2)∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－， 又tan (π－β)＝，∴tan β＝－， ∴tan (α－β)＝ ＝＝－． (3)＝ ＝ ＝ ＝＝＝．] [跟进训练] 1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A． B． C． D． D　[因为cos＝sin＝sin， 所以cos2－cos2＝cos2－sin2 ＝cos＝cos＝．故选D．] 2．若sin (2α－β)＝，sin (2α＋β)＝，则sin 2α cos β等于(　　) A． B． C． D．