第4章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

(教师备用资源) 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1．考查形式 从高考题型、题量来看，一般有两种方式：二个小题或一个小题另加一个解答题，分值为10分或17分左右． 2．考查内容 (1)客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识． (2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见． 　任意角、弧度制及任意角的三角函数 [考试要求]　1．了解任意角的概念和弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad． (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 提醒：有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义 设角α终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 拓展：任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，即r＝， 则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦． (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． [常用结论] 1．象限角 2．轴线角 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角． (　　) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关． (　　) (3)不相等的角终边一定不相同． (　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．] 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) C　[∵＝2π＋，∴与终边相同． 又角度制与弧度制不可同时混用，故选C．] 3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限． [答案]　－　二 4．已知角α的终边过点A，则sin α＋tan α＝________． 　[因为角α的终边过点A，则r＝＝2，因此，sin α＝，tan α＝＝，所以sin α＋tan α＝＋＝．] 5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________rad． 　[弦和两条半径构成等边三角形，因此这条弦所对的圆心角大小为rad．] 考点一　象限角及终边相同的角 　 1．象限角的两种判断方法 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角 2．求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n． (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 1．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边相同；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤的终边相同，故选B．] 2．把－表示成θ＋