第4章 备考技法3 三角函数中“ω”的范围问题(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

三角函数中“ω”的范围问题是近几年的考查热点，涉及三角函数的图象，单调性，对称性，极值等多个知识点，重点考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，解题思路通常有两种： 一是利用复合函数的性质，借助于整体思想得到“ω”满足的关系式； 二是利用图象或图象变换，借助于数形结合思想得到“ω”满足的关系式. 与单调性有关的“ω”范围问题 　已知函数f (x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． B　[由题意得 则 又ω>0， 所以k∈Z， 所以k＝0，则0<ω≤．] [评析]　根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f (x)的单调递增区间，利用整体思想以及区间之间的关系即可建立不等式组，求解ω的取值范围． 　已知ω>0，函数f (x)＝cos在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． B　[令2kπ≤ωx－≤2kπ＋π(k∈Z)， 得≤x≤(k∈Z)． 因为函数f (x)在上单调递减， 所以其中k∈Z， 解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)． 又因为函数f (x)在上单调递减， 所以T≥π⇒ω≤2． 又ω>0，所以k＝0， 故有≤ω≤．] 与平移有关的“ω”范围问题 　若将函数y＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后，与函数y＝cos的图象重合，则ω的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．3 D　[将函数y＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后， 得到函数y＝sin的图象， 又因为平移后的图象与函数y＝cos的图象重合， 而cos＝sin， 所以＋＝＋2kπ(k∈Z)， 则ω＝3＋12k(k∈Z)， 又ω>0，所以为使ω取得最小值，只需k＝0，此时ω＝3．] [评析]　与平移有关的“ω”范围问题中，多是借用平移求得解析式，最终问题的实质还是三角函数的性质，利用数形结合思想，构建不等式求解． 　将函数f (x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是(　　) A．(0，1] B． C．∪ D．∪ C　[函数f (x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，可得 y＝sin的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω>0)(纵坐标不变)， 得到函数g(x)＝sin的图象， ∴周期T＝， 由x∈， 得ωx－∈， 若函数g(x)在上没有零点，结合正弦函数 y＝sin x的图象(如图)观察， 则⊆(kπ，kπ＋π)，k∈Z， ∴－≤＝， ∴ω2≤1，解得0<ω≤1， 又k∈Z， 解得－≤k≤－，k∈Z， 当k＝0时，解得≤ω≤， 当 k＝－1时，又0<ω≤1，可得0<ω≤， ∴ω∈∪．] 与最值、极值有关的“ω”范围问题 　函数f (x)＝sin(ω>0)在(0，π)内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． A　[法一：因为ω>0， 所以函数f (x)在(0，π)内有且仅有一个极大值点等价于函数y＝sin x在内有且仅有一个极大值点． 若y＝sin x在上有且仅有一个极大值点， 则<ωπ＋≤， 解得<ω≤． 于是正数ω的取值范围为． 法二：令ωx＋＝2kπ＋，k∈Z， 可得f (x)的极大值点x＝＋，其中k∈Z． 由＋∈(0，π)， 可得－<k<－， 由题设知这个范围的整数k有且仅有一个， 因此0<－≤1， 于是正数ω的取值范围为．] [评析]　将极值与最值转化到三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围，要特别注意端点是否取到． 　已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f (x)的零点，且f (x)≤恒成立，f (x)在区间上有最小值，无最大值，则ω的最大值是________． 15　[由题意知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，x＝为y＝f (x)图象的对称轴，x＝－为f (x)的零点， ∴ ∴ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z， ∴ω＝2n＋1，n∈Z． ∵f (x)在区间上有最小值，无最大值， ∴周期T≥＋＝，即≥，∴ω≤16． ∴要求ω的最大值，先检验ω＝15， 当ω＝15时，由题意可得－×15＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝－， 函数为y＝f (x)＝sin， 在区间上，15x－∈， 此时f (x)在x＝－时取得最小值， ∴ω＝15满足题意．则ω的最大值为15．] 与零点、对称轴有关的“ω”范围问题 　已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)．若f 为奇函数，f 为偶函数，且f (x)＝在上至多有2个实根，则ω的最大值为(　　) A．10 B．14 C．15 D．18 A　[