第3章 命题探秘1 第3课时 利用导数解决函数的零点问题(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

第3课时　利用导数解决函数的零点问题 技法阐释 1．利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路： (1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； (2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)＜0． 2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤： 第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调； 第二步，证明端点的函数值异号． 3．已知函数有零点求参数范围常用的方法： (1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围； (2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． 高考示例 (2022·全国乙卷)已知函数f (x)＝ln(1＋x)＋axe－x． (1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若f (x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 思维过程 [解]　(1)f (x)的定义域为(－1，＋∞)， 当a＝1时，f (x)＝ln(1＋x)＋，f (0)＝0，所以切点为(0，0)， f ′(x)＝＋，f ′(0)＝2，所以切线斜率为2， 所以曲线y＝f x在点0，f 0处的切线方程为y＝2x. ―→关键点1：找切点，求斜率，写方程 (2) f (x)＝ln(1＋x)＋， 故f ′(x)＝＋＝， ―→关键点2：通分简化研究对象 设g(x)＝ex＋a(1－x2)， ①若a>0，―→关键点3：根据x的取值范围确定a的分类讨论标准一：与0比较大小 当x∈(－1，0)，g(x)＝ex＋a(1－x2)>0，即f ′(x)>0， 所以f (x)在(－1，0)上单调递增，f (x)<f (0)＝0， 故f (x)在(－1，0)上没有零点，不合题意． ②若－1≤a≤0，―→关键点4：根据g(0)的取值正负，确定a的分类讨论标准二：与－1比较大小 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝ex－2ax>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)＝1＋a≥0，即f ′(x)>0， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，f (x)>f (0)＝0， 故f (x)在(0，＋∞)上没有零点，不合题意． ③若a<－1， (ⅰ)当x∈(0，＋∞)时，则g′(x)＝ex－2ax>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， g(0)＝1＋a<0，g(1)＝e>0， 所以存在m∈(0，1)，使得g(m)＝0，即f ′(m)＝0， 当x∈(0，m)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，当x∈(m，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增， 所以当x∈(0，m)，f (x)<f (0)＝0， 当x→＋∞，f (x)→＋∞， 所以f (x)在(m，＋∞)上有唯一零点， 又f (x)在(0，m)没有零点，即f (x)在(0，＋∞)上有唯一零点． ―→关键点5：由零点存在性定理确定x∈(0，＋∞)时的零点个数 (ⅱ)当x∈(－1，0)时，g(x)＝ex＋a(1－x2)， 设h(x)＝g′(x)＝ex－2ax， 则h′(x)＝ex－2a>0， 所以g′(x)在(－1，0)上单调递增， g′(－1)＝＋2a<0，g′(0)＝1>0， 所以存在n∈(－1，0)，使得g′(n)＝0， 当x∈(－1，n)，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(n，0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)<g(0)＝1＋a<0， 又g(－1)＝>0， 所以存在t∈(－1，n)，使得g(t)＝0，即f ′(t)＝0， 当x∈(－1，t)时，f (x)单调递增，当x∈(t，0)时，f (x)单调递减， 又x→－1，f (x)→－∞， 而f (0)＝0，所以当x∈(t，0)时，f (x)>0， 所以f (x)在(－1，t)上有唯一零点，在(t，0)上无零点， 即f (x)在(－1，0)上有唯一零点， ―→关键点6：由零点存在性定理确定x∈(－1，0)时的零点个数 所以a<－1，符合题意． 所以若f (x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，则a的取值范围为(－∞，－1)． 技法一　讨论或证明函数