第3章 命题探秘1 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

第2课时　利用导数研究不等式恒(能)成立问题 技法阐释 　　用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题． 1．分离参数法 一般地，若a＞f (x)对x∈D恒成立，则只需a＞f (x)max；若a＜f (x)对x∈D恒成立，则只需a＜f (x)min．若存在x0∈D，使a＞f (x0)成立，则只需a＞f (x)min；若存在x0∈D，使a＜f (x0)成立，则只需a＜f (x0)max．由此构造不等式，求解参数的取值范围． 2．构造函数分类讨论法 有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数． 高考示例 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f (x)＝ex＋ax2－x． (1)当a＝1时，讨论f (x)的单调性；(2)当x≥0时，f (x)≥x3＋1，求a的取值范围． 思维过程 [解]　(1)略． (2)f (x)≥x3＋1等价于e－x≤1． →关键点1：对不等式等价变形 设函数g(x)＝e－x(x≥0)， 则g′(x)＝－e－x ＝－x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x＝－xx－2a－1x－2e－x. →关键点2：构造函数g(x)并求g′(x) (ⅰ)若2a＋1≤0，即a≤－， →关键点3：根据零点之间的关系分类讨论求解 则当x∈(0，2)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，2)上单调递增，而g(0)＝1， 故当x∈(0，2)时，g(x)＞1，不符合题意． (ⅱ)若0＜2a＋1＜2，即－＜a＜，则当x∈(0，2a＋1)∪(2，＋∞)时，g′(x)＜0；当x∈(2a＋1，2)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，2a＋1)，(2，＋∞)上单调递减，在(2a＋1，2)上单调递增．由于g(0)＝1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)＝(7－4a)e－2≤1，→关键点4：根据g(x)max≤1求a的范围 即a≥．所以当≤a＜时，g(x)≤1． 技法一　分离参数法解决不等式恒成立问题 [典例1]　已知函数f (x)＝axex－(a＋1)(2x－1)． (1)若a＝1，求函数f (x)的图象在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当x＞0时，函数f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． [思维流程]　 [解]　(1)若a＝1，则f (x)＝xex－2(2x－1)． 即f ′(x)＝xex＋ex－4， 则f ′(0)＝－3，f (0)＝2， 所以所求切线方程为3x＋y－2＝0． (2)法一：由题意知x＞0时，f (x)≥0恒成立， 即转化为a(xex－2x＋1)≥2x－1对x∈(0，＋∞)恒成立， 设h(x)＝ex－x－1，h′(x)＝ex－1＞0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又h(0)＝0，故h(x)＞h(0)＝0，即ex≥x＋1， 故xex－2x＋1≥x(x＋1)－2x＋1＝x2－x＋1＞0， 故由题意得a≥对x∈(0，＋∞)恒成立， 设F (x)＝，则 F ′(x)＝ ＝－， 故F (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， F (x)max＝F (1)＝， 故a≥，a的取值范围是． 法二：由f (1)≥0，得a≥＞0， 则f (x)≥0对任意的x＞0恒成立可转化为≥对任意的x＞0恒成立． 设函数F (x)＝(x＞0)， 则F ′(x)＝－． 当0＜x＜1时，F ′(x)＞0； 当x＞1时，F ′(x)＜0， 所以函数F (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以F (x)max＝F (1)＝． 于是≥，解得a≥． 故实数a的取值范围是． 点评：利用分离参数法来确定不等式f (x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f 1(λ)≥f 2(x)或f 1(λ)≤f 2(x)的形式． (2)求f 2(x)在x∈D时的最大值或最小值． (3)解不等式f 1(λ)≥f 2(x)max或f 1(λ)≤f 2(x)min，得到λ的取值范围． 　(2022·四川绵阳二模)已知函数f (x)＝(x－2)ex－ax2－x． (1)当a＝－时，求函数f (x)的极值； (2)若曲线f (x)在(－2，1)上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝－时，f (x)＝(x－2)ex＋x2－x， 故f ′(x)＝(x－1)ex＋x－1＝(x－1)(ex＋1)， 当x＜1时，f ′(x)＜0；x＞1时，f ′(x)＞0， 故f (x