第3章 第2节 利用导数解决函数的单调性问题(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　利用导数解决函数的单调性问题 [考试要求]　1．了解函数的单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)． 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f (x)在 区间(a，b)上可导 f ′(x)＞0 f (x)在(a，b)内单调递增 f ′(x)＜0 f (x)在(a，b)内单调递减 f ′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数 提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． [常用结论] 1．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在(a，b)内f ′(x)≤0，且f ′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内是减函数． (　　) (2)若函数f (x)在定义域上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在定义域上一定单调递减． (　　) (3)已知函数f (x)在区间[a，b]上单调递增，则f ′(x)＞0恒成立． (　　) (4)函数f (x)＝x－sin x在R上是增函数． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－3，1)上f (x)是增函数 B．在区间(1，3)上f (x)是减函数 C．在区间(4，5)上f (x)是增函数 D．在区间(3，5)上f (x)是增函数 C　[由图象可知，当x∈(4，5)时，f ′(x)＞0，故f (x)在(4，5)上是增函数．] 2．函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 D　[因为f ′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立， 所以f (x)在(0，π)上是减函数，故选D．] 3．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________． (2，＋∞)　[函数f (x)＝(x－3)ex的导数为f ′(x)＝(x－2)ex， 当f ′(x)＞0时，函数f (x)单调递增，此时有不等式f ′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2．] 4．已知f (x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________． 3　[f ′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又因为x∈[1，＋∞ )，所以a≤3，即a的最大值是3．] 考点一　不含参数的函数的单调性 　求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x)的定义域． (2)求f ′(x)． (3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得单调递减区间． 1．已知函数f (x)＝x2＋2cos x，若f ′(x)是f (x)的导函数，则函数f ′(x)的图象大致是(　　) 　　 A　　　　 　　B　　 　　　　C　 　　　　D A　[设g(x)＝f ′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x≥0． 所以函数f ′(x)在R上单调递增，故选A．] 2．(2023·四川内江模拟预测)函数f (x)＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(0，2) B　[f (x)的定义域为(0，＋∞)， 解不等式f ′(x)＝x－＝＜0，可得0＜x＜1， 故函数f (x)＝x2－ln x的单调递减区间为(0，1)．] 3．函数f (x)＝excos x的单调递增区间为________． (k∈Z)　[f ′(x)＝excos x－exsin x＝ex(cos x－sin x)， 令f ′(x)＞0得cos x＞sin x， ∴2kπ－π＜x＜2kπ＋，k∈Z， 即函数f (x)的单调递增区间为(k∈Z)．] 点评：(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降． (2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错． 考点二　含参数函数的单调性 解决含参数函数的单调性问题应注意的两点 (1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确