3.2.1 单调性与最大(小)值(含误区18、19)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 3.2 函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 重点和难点 课标要求 重点：函数的单调性， 1.理解函数的单调性和单调区间的概念、作用和实际意义 难点：增（减）函数的定义，利用增（减）函数 2.理解函数的最大值和最小值的概念、作用和实际意义. 的定义判断函数的单调性。 □01-必备知识梳理 基础梳理 知识点1 函数的单调性 1.增函数与减函数 同敲黑板☑ 对增函数与减函数 名称 增函数 减函数 定义的理解 般地，设函数∫(x)的定义域一般地，设函数f(x)的定义域 1.“定义域1内某个区间 为I,区间D二I: 为I,区间D二I: D”即说明函数的单调区间是其 如果Hx1,x2∈D,当x1<x2如果Hx1,x2∈D,当x1<x2 定义域的子集 2.增、减函数定义中的x1, 定义 时，都有f(x1)<f(x2),那么就时，都有f(x1)>f(x2),那么就 称函数f(x)在区间D上单调递称函数f(x)在区间D上单调递 x2有三个特征：一是任意性，即 增.特别地，当函数f(x)在它的减.特别地，当函数f(x)在它的 不能用特殊值代替，“任意取 定义域上单调递增时，我们就称 定义域上单调递减时，我们就称 x1,x2”中的“任意”两字绝不能 它是增函数 它是减函数 丢掉；二是有大小，通常规定 x1<x2;三是同属于一个区间， 图形 y=f()/f(z) yf(x) y-f(x) 三者缺一不可. 表示 f(x】 7x) 3.自变量取值之间的不等 关系和函数值的不等关系正逆 几何 函数f(x)的图象在区间D上从 函数f(x)的图象在区间D上从 互推，即若f(x)是增（减）函 意义 左到右是上升的 左到右是下降的 数，则f(x1)<f(x2)台x1< x2(x1>x2）. 2.单调性与单调区间 4.若对于区间D内任意 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就 的x1,x2(x1≠x2),都有 说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作 f(x)-fx)>0(或(x1 x1一x2 y=f(x)的单调区间. x2)(f(x1)-f(x2)>0)成 3.单调区间的书写 立，则f(x)在D内单调递增. (1)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用 这是因为当x1>x2时，x1 x2>0,所以f(x1)-f(x2)> “U”而应该用“和”或“，”来连接，如函数y=二在区间（一∞，0）和 0,即f(x1)>f(x2).类似地， 86 第三章 函教的概念与性质么出 (0,十∞)上均为减函数，但不能说它在定义域（一∞，0）U(0, f(x1)-f(x2) <0(或(x1 x1一x2 十∞)上是减函数. x2)(f(x1)-f(x2)<0)成 (2)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的 立，则f(x)在D内单调递减. 规定.习惯上，若函数在区间端点有意义，则写成闭区间，当然写 成开区间也可以；若函数在区间端点没有意义，则必须写成开区 刀划重点7 间.例如对于函数y=x2,它的一个单调递减区间可以写成 对函数单调性的理解 1.单调性是与区间紧密相 二∞，0，并且此区间又可以写成（一∞，01：而对于函数y 关的概念.对于一个函数来说， 它的单调递减区间只能写成（一∞，0）和(0，十∞). 它在某个区间上可能有单调 4.常见函数的单调性 性，也可能没有单调性.例如 函数y=x十|x,它在区间 函数 单调性 (一∞，0]上没有单调性，而在 一次函数y=ax十ba>0时，在R上单调递增； [0,十∞)上是单调递增函数. (a≠0) a<0时，在R上单调递减 同一个函数在某个区间上 可能单调递增，而在另外一个 反比例函数y= a a>0时，单调递减区间是(-∞，0)和(0，十∞)； x 区间上可能单调递减.例如函 (a≠0) a<0时，单调递增区间是（一∞，0）和(0，十o∞) 数y=x2,它在区间(-∞，0]上 a>0时，单调递减区间是（一∞，m],单调递增区 是单调递减的，而在[0，十∞)上 二次函数y=a(x 间是[m,十o∞)； 是单调递增的。 m)2+n(a≠0) a<0时，单调递减区间是[m,十∞)，单调递增区 2.有的函数不具备单调性」 间是(-∞，m] (1,x为有理数， 如函数y= 它的 0,x为无理数， “对勾”函数y=x十 单调递减区间是(0，√)； 定义域为R,但它不具备单调 飞(k>0,x>0) 单调递增区间是（√E,十∞） 性；再如函数y=x十1，x∈Z, 它的定义域不是区间，也不能 cx+d “双曲”函数y一ax十b 有（←-0，一合），（名+）两个单渊区间，单闲 说它在定义域上具有单调性. (a≠0，bc≠ad) 性可借助图象判断 知识点2函数的最值 习作比较7 名称 定义 几何意义 函数的最值和值域的 联系与区别 般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 1.联系：函数的最值和值 果存在实数M满足： 函数的 函数的最大值对 域反映的都是函数的整体性 最大值 (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; 应图象最高点的 (2)存在x∈I,使得f(xo)=M. 纵坐标 质，针对的是整个定义域。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 2.区别： (1)函数的值域一定存在， 般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 而函数的最大（小）值不一定 果存在实数m满足： 函数的最小值对 函数的 (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥m; 应图象最低点的 存在. 最小值 (2)存在xo∈I,使得f(xo)=m. 纵坐标 (2)若函数的最值存在，则 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值 定是值域中的元素，例如，函 87 重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 重难拓展 数f(x)=x2对任意的x∈R, 都有f(x)≥-1，但是f(x)的 重难点】函数单调性的运算性质及复合函数的单调性 最小值不是一1，因为一1不在 1.函数单调性的运算性质 f(x)的值域内. 若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上 (3)若函数的值域是开区 具有以下性质： 间，则函数无最值；若函数的值 (1)f(x)与f(x)十C(C为常数)具有相同的单调性， 域是闭区间，则闭区间的端点 (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a·f(x)具有相同的 值就是函数的最值 [注意]函数的最大（小） 单调性；当a<0时，f(x)与a·f(x)具有相反的单调性. 值是与函数的值域、单调性紧 (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时， 密相连的，所以求函数的最大 fx)与&具有相反的单调性：当a<0时，f(x)与具有 (小)值时要考虑函数的单调 性，并结合求值域的方法进行 相同的单调性。 求解 (4)若f(x)≥0，则f(x)与√f(x)具有相同的单调性， (5)在f(x),g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(z) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性 增函数 减函数 不能确定单调性 增函数 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性 减函数 增函数 不能确定单调性 减函数 (6)当f(x),g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零， 则f(x)g(x)也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则f(x)g(x) 是减（增）函数 2.复合函数单调性的判定 对于复合函数f(g(x)),设t=g(x)在(a,b)上是单调函 数，且y=f(t)在(g(a),g(b)或(g(b),g(a)上也是单调函 数，那么f(g(x)在(a,b)上的单调性如下表所示： t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 记忆口诀为“同增异减”. 若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的 单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则 88 第三章函数的概念与性质么出型 这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为 习拓视野习 减函数 两个单调区间之间不能用 例口函数f)=:士的单渊区间为 并集符号.如例1，若写成（一∞， 0)U(0,十∞)，则代表f(x)在 解析函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，且当x∈(0， 整个定义域内为增函数.而事 十∞)时，y=x和y=一上均单调递增， 实上，如图1所示，f(x)在整个 定义域内不是增函数， 所以f()=工一上在0，十∞)上单调递增. 同理可得f)=一在（一0,0》上也单调递增。 答案（一o∞，0）和(0，十0∞). 图1 例B判断函数fx)一名x∈[2.6]的单调性 2 留铜函数了)=吕可分解为通教y=子和面故w=工一1，共中 O62 x∈[2,6]，u∈[1,5]，显然函数u=x-1在x∈[2,6]上单调递增，且u>0 图2 恒成立，则函数y=2在u∈[1,5]上单调递减，由复合函数的性质知，函数 那么什么时候可以用并集 符号呢？如图2所示，函数 f(x)= 2在[2,6]上单调递减 f(x)在(-∞，1)和(2，十∞)上 均为增函数，且f(1)<f(2).由 重难点2“对勾”函数的图象及其应用 此可知，在(-∞，1)U(2,十∞) “对勾”函数又称双勾函数、勾函数、耐克函数.“对勾”函数y=ax 内，对于任意的x1>x2,有 b(a>0,b>0)的图象如图1所示，由图可得“对勾”函数的有 f(x1)>f(x2),此时可以说 x f(x)在(-∞，1)U(2,+∞)上 关性质如下： 为增函数， (1)定义域：{xx≠0} (2)值域：{yly≥2√ab或y≤-2√ab}: ⊙单调作：在区间(-0，怎了，[区+j上为增函 数，在区间[-√么o,(0,]上为减函数 -ax √a 图1 89 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) “对勾”函数的图象： (1)y=a.x+(a>0,b<0),如图2. (2)y=a.x十。(a<0,b>0),如图3. (3)y=ax十(a<0,b<0),如图4. A 图2 图3 图4 例图已知函数f(x)=x十2x十a ,x∈[1，+o∞) (1)当a=4时，求f(x)的最小值 (2)当a=时，求f(x)的最小值。 (3)若a为正常数，求f(x)的最小值 解机(1)当a=4时，f(x)=x+4+2,易知f(x)在[1,2]上是减 卫提个醒可 函数，在[2，十∞)上是增函数.故f(x)mm=f(2)=6. “对勾”函数求最值时，若 (2当a=时，f)=x+2+2,易知了x)在[，十∞)上为增函 等号能成立，利用基本不等式； 数故了e)m-f0-号 若等号不成立，利用“对勾”函 数的单调性.若参数对单调性 (3)画数f(x)=x十兰十2在(0，a]上是减函数，在[a,十∞)上是 有影响，要加以讨论。 增函数 当√a>l,即a>1时，f(x)在区间[1，十∞)上先减后增，f(x)min= f(Va)-2/a+2; 当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在区间[1，十∞)上是增函数，f(x)mm =f(1)=a+3. 重难点3函数最值的求法 1.配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数， 要特别注意自变量的取值范围. 2.判别式法：主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)x2十 b(y)x十c(y)=0的函数y=f(x).由△≥0且a(y)≠0求出y 的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值 3.换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围. 90 第三章 函教的概念与性质么 4.数形结合法：对于图象较容易画出的函数，可借助图象直 观求出其最值， 5.利用函数的单调性求最值：要注意函数的单调性对函数最 值的影响，特别是闭区间上函数的最值. 6.利用基本不等式求最值 例4已知函数g(x)=(2x-a)2-（2x-a)+1(-1≤x≤ 1),求g(x)的最小值h(a) 爵g)-x一a+号》]'+号对稔轴为x-2a, 4 当-12a≤1，即<≤时g)m=g2生）-是 4 当2a>1,即a>时gz)=g1=a3-3a+3. 4 当2a-1,即a<-号时g)s=8(-10=a2+5+7 4 a+5a+7a<8, 故h(a)= 35 3 4-2≤a≤2 a2-3a+3,a>3 21 [点评求二次函数在区间[m,n]上的最值时，应看对称轴是在区间 [m,n]内还是在该区间的左边或右边，要根据对称轴位置的不同，由二次 函数的图象求出函数的最值. 02关健能力提升。 题型方法 .x1-x2<0,√x1十√x2>0,从而知f(x1) 题型1用定义证明函数的单调性 f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 例⑤利用函数单调性的定义，证明函数 故函数f(x)=√无在区间[0，十∞)上是增函数. f(x)=√元在区间[0，+∞)上是增函数， 点评作差后利用分子有理化进行变形是解题 证明任取x1,x2∈[0，十∞)，且x1<x2, 的关键 则f(x1)-f(x2)=√x1-√x2 例6(2026·湖北黄冈中学高一模拟)判 =W-√)(W+√2) 断函数f(x)=十(k>0)的单调性. √x1十Wx2 x1一x2 解析任取x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2, Vx+V2 ,0≤x1<x2, 则f,)f)=年-(+)= 91 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) )+C:）=61-）.- (*) 数.又y=1与y=一工在(0，十©)上都为减函数，故 X12 X1x2 当x1,x2∈(0，VE)时，0<x1x2<k,x1-x2<0, f(x)=1 一x在(0，十∞)上为减函数. 所以(*)式大于0，即f(x1)一f(x2)>0, [答案AD 所以f(x2)<f(x1), 即f(x)在(0，√E)上是减函数； 点评利用已研究过的基本初等函数（现阶段指 一次函数、二次函数和反比例函数)的性质直接得出 当x1,x2∈[√E,十o∞)时，x1x2>k,x1-x2<0, 函数的单调性（或单调区间）的方法，称为公式法 所以()式小于0，即f(x1)-f(x2)<0, 公式法也包括利用“增十增=增”“增一减=增” 所以f(x2)>f(x1), 这些结论来判断函数的单调性。 即f(x)在[VE,十∞)上是增函数， 例⑧完成下列要求。 同理可得，当x∈(-E,0)时，f(x)=x十是 (1)求函数f(x)=-x2+2x|+3的单 减函数； 调区间. 当x∈(-o,-√反]时，f(x)=x十是增函数 (2)求函数f(x)=|x2-x一12|的单调 区间. 综上所述，f(x)=x十(k>0)在(-∞，-E] 点拨“脱”去绝对值符号，变为分段函数，画出 函数图象，从图象上观察出函数的单调区间 和[√E,十∞)上是增函数，在（一√E,0)和(0，√E)上 是减函数 解析(1)图象法 ◆变式1证明函数f(x)=一x3十1在R -x2+2x+3(x≥0)， f(x)= 上为减函数， -x2-2x+3(x<0) (-(x-1)2+4(x≥0)， 题型2函数单调性的判断及单调区间的求解 -(x+1)2+4(x<0). 求函数的单调区间的常用方法有：定义法 如图1所示，易知函数的单调递增区间是（一∞， (见例5、例6)、图象法、公式法（见例1）、复合 -1]和[0,1]，单调递减区间是[-1,0]和[1，十∞). 函数法（见例2）. y 例7（多选）下列四个函数中，在(0， +∞)上单调递减的是( A.f(x)=1-z B.f(x)=x2-3x x -2-1o123 图1 图2 C.f(x)-2x Df)=1 (2)图象法 解析公式法根据一次函数、二次函数和反比 x2-x-12(x≤-3或x≥4)， f(x)= -x2+x+12(-3<x<4). 例函数的单调性可知，fx)=1在(0，十)上为减画 如图2所示，易知函数的单调递增区间是 数了)=2-3在o,引上为减函教，在[》 1 -3,2引[4，+)，单调递减区间是(-∞，-3]， 十∞)上为增函数.f(x)=2x在(0，十∞)上为增函 层4 92 第三章函教的概念与性质么出 例9对于任意实数x1,x2,min{x1,x2} 解得a≥-2，所以-2≤a<0. 表示x1,x2中较小的那个数.若f(x)=2- 当a>0时，不满足条件. x2,g(x)=x,则min{f(x),g(x)}的单调递 综上可知，a的取值范围为[一2,0). 增区间为 (2)因为函数f(x)在R上单调递减， a-3<0, 解析图象法在同一平面直角坐标系中，分别 a>0, 作出f(x)=2-x2,g(x)=x的图象，由2-x2=x 求出两图象交点的横坐标为一2和1.一2和1将x轴 解得号 分成三段，在每一段图象上，下方的图象便构成了函 2a-1≥-a+1, 数min{f(x),g(x)}的图象. 令h(x)=min{f(x),g(x)},则h(x)的图象如 即a的取值范围是[层 图所示 答案(1)[-2,0).(2)C g(x)=I 点评若函数在R上是增函数，则它在定义域 内的每一个区间上都是单调递增的.求分段函数的单 1012 调性时，要先部分后整体，同时注意分段点处的函数 值大小 f(x)=2-x ◆变式3若函数f(x)= |x2+1,x≥1， 由图象可知h(x)的单调递增区间为（一∞，1]. a.x-1,x<1 答案(-∞，1]. R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是 ●变式2求函数y=x+1|+|x一2的 单调区间 ●变式4若函数f(x)=2x一a|+3在 题型3函数单调性的应用 区间[1，十∞)上不单调，则实数a的取值范围 1.函数单调性的可逆性 是(). 例10(1)(2026·江苏新海高级中学高 A.[1,+∞) B.(1,+∞) 一检测)若二次函数f(x)=ax2十(a十6)x C.(-∞，1) D.(-∞，1] 5在区间（一∞，1）上为增函数，则a的取值范 2.利用单调性比较大小 围为 例11如果函数f(x)=-x2+bx十c对 (2)(2026·湖北武汉二中周练)已知函数 任意的实数x都有f(2十x)=f(2一x),试比 (a-3)x+a+2,x<1, 较f(1),f(2),f(4)的大小 f(x)= -az2+x,x21 在R上单调 点拨利用函数的单调性比较函数值的大小时， 递减，则实数a的取值范围为( 先将自变量转化到函数的同一个单调区间上，再根据 A.(0,3) B2 函数的单调性进行比较，最后写结果时再还原回去 [解析，函数f(x)=一x2十bx十c对任意的实 n后 数x都有f(2十x)=f(2-x), a+6z1, ∴.-(2+x)2+b(2+x)+c=-(2-x)2+b(2- 解析(1)当a<0时，-2a x)十c,解得b=4, 93 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) ∴.函数f(x)=一x2十bx十c图象的对称轴为直 解析(1)设x1,x2∈R,且x1<x2, 线x=2,即有f(1)=f(3). 则x2-x1>0,f(x2一x1)>1. .-1<0, .f(x2)-f(x1) ∴.函数f(x)=-x2十bx十c图象的开口向下， =f((x2-x1)十x1)-f(x1) 且f(x)在[2，十∞)上单调递减. =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) 又.2<3<4，.f(2)>f(3)>f(4), =f(x2-x1)-1>0. 即f(2)>f(1)>f(4). .f(x1)<f(x2). 点评由函数满足对任意的实数x都有∫(2十 ∴.f(x)是R上的增函数 x)=f(2一x),可得函数图象的对称轴为直线x=2. (2)对任意的a,b∈R,都有f(a十b)=f(a)十 f(b)-1, 一般地，函数∫(x)对任意的实数x有∫(b十x)= ∴.f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, f(b一x)台函数图象的对称轴为直线x=b. .f(2)=3. 例12定义在(-1,1)上的减函数f(x) ∴.f(3m2-m-2)<3=f(2). 满足f(1一a)<f(a2-1),求实数a的取值 ,f(x)是R上的增函数， 范围。 3m2m-2<2,解得-1<n<号 [点拨利用减函数的定义构造不等式组求解 即可 ◆变式5已知f(x)是定义在区间(0，十∞) 解析]，f(x)在区间（一1,1）上是减函数，且 上的增函数，且f（号）-f）-f),f2)=1, -1<1-a<1, f(1-a)<f(a2-1), -1<a2-1<1,解得 解不等式fx)-f小≤2. 1-a>a2-1, 题型4函数的最值 0<a<2, 1.二次函数的最值 -√2<a<0或0<a<2, 例14求函数y=2x一√x-1的最值. -2<a<1. 点拨令√x-1=t(t≥0)，利用换元法转化 ∴.0a<1. 为求关于t的二次函数在区间[0，十∞)上的最值 故所求实数a的取值范围是(0,1). 解析令t=√x-1(t≥0)，则x=t2+1, [点评利用函数的单调性解抽象不等式，先把不 等式变形为∫(A)>∫(B),然后利用单调性“脱”掉 y=2r-+2=2)°+号 “f”,要特别注意∫(x)的定义域对A与B的限制. :t≥0，当t=4时ym=8 15 3.抽象函数单调性问题 例13函数f(x)对任意的a,b∈R,都有 函数y=2xV-1的最小值为，无 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时， 大值」 f(x)>1. 例15已知f(x)=x2+2x-5,x∈[t,t+ (1)求证：f(x)是R上的增函数， 1],求f(x)的最大值和最小值， (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m 解析如图所示，函数∫(x)的图象的对称轴为 2)<3. x=-1 94 第三章 函教的概念与性质么型 (1)①当t+1≤-1，即t≤-2时， 解析(1)令t=x一1(t≠0)，则x=t十1，y= f(x)m=f(t+1)=(t+1)2+2(t+1) 5=t2+4t-2. +1D+2+)+6_±+9=4+2+4，此画 t 数在(0,3)，（一3,0）上单调递减，在(-∞，一3)， (3,十∞)上单调递增. ∴.函数的值域为(-∞，一2]U[10,十∞). tt+l +1方 (2)令x+1=t(t≥4)， 则=1-1y-34-9-4 t ②当t≤-1<t+1,即-2<t≤-1时， 易知y=1-3-4在[4，十o∞)上是增函数， t f(x)mn=f(-1)=-6. ③当t>-1时，f(x)m=f(t)=t2+2t-5. 因此，当1=4时y取得最小值一子 t2+4t-2,t≤-2， 综上可得f(x)m= -6,-2<t≤-1， 故原函数的值域为 t四小 t2+2t-5,t>-1. 答案(1)(-0∞，-2]U[10,十0∞). 2中1-+ 2 2y[+∞. ①当一1+2即≥号时， 3.分段函数、含有绝对值函数的最值 f(x)mx=f(t+1)=t2+4t-2. 例17(1)已知函数f(x)=x+|2x+a| ②当-1>+2，即1<一号时， 在区间[0,2]上的最小值为1，则a= a,a≥b, f(x)mx=f(t)=t2+2t-5. (2)对a,b∈R,记max{a,b}= b,a<b; 2+2t-51<-3 综上可得，f(x)max 则函数f(x)=max{|x+1|,x-2}(x∈R) 3 t2+4t-2,t≥- 2 的最小值是 点评函数y=a.x2十bx十c(a>0)在区间[m, 3x+a,≥-受， n](n>m)上的最大值是f(m)还是f(n),取决于对 解析(1)由题意知f(x) x-a:x<- a 称轴x=一2a 与工=m和x=n之间的距离，所以只 士和名<两种清风 “画数在(-©，一）上单调递减，在-号， 需分一2a 2.“对勾”型、分式型函数的最值 十o∞上单调递增. 例1B1①函数y=+2红+9的值域是 x-1 当2-号即a≤-4时，函鼓在区间[0,2]上单调 递减，最小值为f(2)=-2-a=1,解得a=一3，不合 (2)函数)=一26(r≥3)的值域是 题意，舍去； x+1 当0<-受<2，即-4<a<0时，函数在区间[0， 95 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) -]上单调递减，在[号，2上单羽递琳，最小值为 ∴画数fx)=名在区间[2,5]上的值城为 f(-受)=号=1，解得a=-2,符合题意： [层4 当一号<0，即a≥0时，函数在区间[0,2]上单调 5.函数的最值与任意性和存在性问题 例19(1)设函数f(x)是定义在(-∞， 递增，最小值为f(0)=a=1,解得a=1或a=一1 +∞)上的增函数，实数a使得f(1一ax一 (舍去). x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立，则 故a的值为1或一2. (2)函数f(x)=max{|x+1l,lx-2|}(x∈R) 实数a的取值范围是(). A.(-∞，1) 的图象如图所示，由图象可知，其最小值为 3 B.[-2,0] y=lx-2 C.(-2-2√2，-2+22) 3 D.[0,1] 22/ -10 (2)已知函数f(x)=x一， 与gx) 答案(1)1或-2. (2) 3 x2-2ax十+1满足：对任意的x1∈[0,1]，总存 2 4.利用单调性求函数的值域 在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2).则实数a 的取值范围是( 例国求函数fx)-在区间[2，] A.[1,+∞) B.[2,+∞) 上的值域。 C.[√2，+∞) D.[4,+∞) [点拨求该函数在区间[2,5]上的值域，只需利 解析(1)由条件得1-a.x-x2<2-a对于x∈ 用函数的单调性确定函数在该区间上的最大值和最 [0,1]恒成立. 小值即可. 令g(x)=x2+a.x-a十1，只需g(x)在[0,1]上 解析桐在区间[2,5]上任取实数x1,x2,且令 的最小值大于0即可. x<2,则f(x2)-f(x1)=2 x2-1x1-1 gx)=x2+az-a+1=(k+g》--a+1 x1一x2 (x1-1)(x2-1) ①当-号<0，即a>0时，g(x)m=g(0)=1- 2≤x1<x2≤5， a>0, .x1-x2<0,x1-1>0,x2-1>0, .a<1,故0<a<1; ∴.f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1), ②当0≤-号≤1，即-2<a<0时，gx)m 六函数f)产在区间[2,5]上是单羽说减 g-)--a+1>0, 函数 .-2-2√2<a<-2+2W2,故-2≤a≤0； 2 ∴fx)mx=f(2)=21=2, ⑧当-受>1，即a<-2时，g(x)m=g1)= f(x)m=f(5)=写4' 5.5 2>0,满足题意，故a<-2. 96 第三章函教的概念与性质么出型 综上所述，a的取值范围是（一∞，1）.故选A. ≥g(x2), (2)由题意可知，对任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈ ∴.x2-2ax+1≤-1在x∈[1,2]上有解. 12,优得f,)≥gt,.只要f)=+在 由x2-2ax+1≤-1得2ax≥x2+2, x∈[0,1]上的最小值不小于函数g(x)=x2-2ax十 2a≥x+2在x∈[1,2]上有解 1在x∈[1,2]上的最小值即可. ∴2a≥(x+2)」 中有是单调递 当x∈[0,1]时，函数fx)=x- min 增函数， 又x十2≥22，当且仅当工=2时取等号， x 故f(x)mm=f(0)=-1. 2a≥22，∴a≥√2 方法-g(x)=x2-2a.x十1=(x-a)2+1-a2. 答案(1)A(2)C 当a≥2时，函数g(x)=x2-2ax十1在x∈[1， 易错警标 2]上的最小值为g(2)=5-4a, 此时有-1西一4a,解得a≥号，a≥2： ●易错题18（错误率42%）(1)若函数 f(x)=x2+2(a一1)x+2的单调递减区间 当1<a<2时，函数g(x)=x2-2ax+1在x∈ [1,2]上的最小值为g(a)=1-a2, 是（一∞，4]，则实数a的取值范围是 此时有-l≥1-a2,解得a≥√2或a≤-√2， √2≤a<2; (2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x十2 当a≤1时，函数g(x)=x2-2a.x+1在x∈[1， 在区间(-∞，4]上单调递减，则实数a的取 2]上的最小值为g(1)=2-2a, 值范围是 此时有-1≥2-2a,解得a≥ ◆易错题19（错误率38%）已知y= 2 f(x)在定义域(-1,1)上是增函数，且f(t一1) 无解，舍去 <f(1一2t),求实数t的取值范围. 综上所述，a≥√2.故选C 方法二，原问题转化为了x2∈[1,2]，使得一1 参考答案见《全书易错题集》第5页 -03核心泰养聚焦一。一 考向分类 满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，且函数 考向】判断函数的单调性 f(x)在[0,2]上不是增函数即可. x2,0≤x≤1， 例20（经典·北京卷）能说明“若f(x)> 答案f(x)= (答案不唯一) (x-1)2,1<x≤2. f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在 教材P77增函数的概念，教材P79练习 [0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是 回归教材 第1题 常考题型 选填题难度系数0.8 高考热度★★ 点拨这是一道开放性试题，答案不唯一，只要 核心素养 数学建模 素养水平水平二 97 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 考向2函数单调性的应用 考向3函数的最值及其应用 例21（经典·全国Ⅱ卷）设函数f(x)的 例22（经典·浙江卷）已知函数f(x)= 定义域为R,满足f(x十1)=2f(x),且当x∈ -x2+2,x≤1， (0,1]时，f(x)=x(x一1).若对任意x∈ x+1-1,x>1 则f) ;若 (-∞，m],都有f(x)≥- 则m的取值范 当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b-a的最大 值是 围是( af-,别 B.-∞，3 7 解损由已知得f(2)=-()》°+2-子， )-+41- 37 c(-,引 所以f(合》器 解析当x∈(0,1]时，f(x)=x(x一1)= 当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤-x2十2≤3， (-》°-所以于(x)在(0，司上单调递减，在 所以-1≤x≤1； [日1]上单调递增， 当x>1时，由1f63可得1x+-1长3， 所以1<x≤2十3. 所以f(x)m=f(）=-是，f(x)m= 综上可得，1≤f(x)≤3等价于-1≤x≤2十√5， f(1)=0. 所以[a,b]二[-1,2+√3]， 由f(x+1)=2f(x)知， 所以b-a的最大值为3十√3. 当x≤1时≥->8： 图刻弱8+v, 当x∈(1,2]时，f(x)=2f(x-1)≥2X 例23（经典·北京卷）设函数f(x)= (-》=>8: -ax+1,x<a'若fz)存在最小值，则a的 (x-2)2,x≥a. 当x∈(2,3]时，由f(x)=4f(x-2)=4(x 一个取值为 ,a的最大值为 2x-30≥g 解析若a=0,则f(x)= 1,x<0, (x-2)2,x≥0， 部得a号成r≥8 3 .f(x)m=0. 若a<0,当x<a时，f(x)=-ax十1单调递增， 烯上可知，当m<号时，恒有f区8成立 当x→一∞时，f(x)→一∞，故f(x)没有最小值，不 [答案B 符合题目要求 若a>0,当x<a时，f(x)=一ax十1单调递减， 回归教材教材P86第11题的拓展及应用 f(x)>f(a)=-a2+1, 常考题型 选填题难度系数0.5高考热度 ★★ 0,0<a<2, 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平三 当x>a时，f(x)mn= (a-2)2,a≥2. 98 第三章函数的概念与性质》么出 ∴.-a2+1≥0或-a2+1≥(a-2)2, B.sgn [g(x)]=-sgn x 解得0<a≤1.故a的最大值为1. C.sgn [g(x)]=sgn [f(x)] 答案0（答案不唯一）；1. D.sgn [g (x)]=-sgn [f(x)] 回归教材教材P86习题3.2第7题 3.(经典·天津卷，考向2)已知a∈R,函 常考题型解答题难度系数0.5高考热度 ★★★ 数f(x)= {x2+2x十a-2,x≤0， 若对任意 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平 水平二 -x2+2x-2a,x>0. x∈[-3，+∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取 真题演练 值范围是 1.(经典·北京卷改编，考向1)下列函数 4.(经典·浙江卷，考向3)已知a∈R,函 中，定义域是R且为增函数的是( 数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得f(t+2) A.y=(x-1)2 B.y=x3 Cy=1 一fa≤号，则实数a的最大值是 D.y=x 5.(经典·浙江卷，考向3)若函数f(x)= 2.(经典·湖北卷，考向2)已知符号函数 x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最 1,x>0, 小值是m,则M-m(). sgnx=0,x=0,f(x)是R上的增函数， A.与a有关，且与b有关 -1,x<0. B.与a有关，但与b无关 g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则(). C.与a无关，且与b无关 A.sgn Lg(x)]=sgn x D.与a无关，但与b有关 99象，并根据图象指出函数的值域。 (x,-1<x<1, 正解由题意得y= -x,x<-1或x>1. 作出函数图象，如图所示。 根据图象可知函数的值域为{yy≠1且y≠一1} 易错探因本题易错的地方是在化简函数式时，只考虑 了去掉绝对值的符号，而忽略了函数的定义域为{xx≠ |x,-1x1, 士1}，从而得到y= 其图象如 -x,x<-1或x>1, 图所示.并且由图象可知，其值域为R, 误区18混淆“单调区间”和“在区间上单调” 易错题18（错误率42%）(1)若函数f(x)=x2+2(a 1)x十2的单调递减区间是（一∞，4]，则实数a的取值 范围是 (2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x十2在区间(-∞，4幻 上单调递减，则实数a的取值范围是 正解(1)因为函数f(x)的单调递减区间为（一∞，4幻， 且函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以有 1一a=4,解得a=-3. (2)因为函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减，且函 数f(x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以1一a≥ 4,解得a≤一3. 答案(1){-3.(2)(-∞，-3]. 易错探因单调区间是一个整体概念，比如说函数的单 调递减区间是I,指的是该函数单调递减的最大范围 为区间I.而函数在某一区间上单调递减（增），则指此 区间是相应单调递减（增）区间的子区间.因此我们在 解决函数的单调性问题时，不能混淆“单调区间”和“在 区间上单调”这两个概念 误区19解抽象函数不等式时忽略定义域 易错题19（错误率38%）已知y=f(x)在定义域（一1,1） 上是增函数，且f(t一1)<f(1一2t),求实数t的取值 范围， -1<t-1<1, 正解 依题意可得 -1<1-2t<1,解得0<t<号. t-1<1-2t, 即实数1的取值范围是40<<号}： 易错探因(1)利用单调性解抽象函数不等式：关于抽象 函数不等式的一般解答方法是利用单调性脱掉“f”,注 意定义域对自变量的限制： (2)函数的单调区间是函数定义域的子集，故求函数的 单调区间时，必须先求函数的定义域，注意不要忽略此 步骤。 误区20判断函数的奇偶性时忽略原点值 易错题20（错误率42%）判断函数f(x)= x2+2x十3，x<0, 3,x=0, 的奇偶性」 -x2+2x-3,x>0 正解当x>0时，一x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)= -f(x) 当x<0时，-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)- 3=-(x2+2x+3)=-f(x). 而当x=0时，f(0)=3≠一f(0). 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数 易错探因本题易出现的错误是判断出对于定义域内的 每一个不为0的x,都有f(一x)=一f(x)成立，就得 到f(x)是奇函数.事实上，当x=0时，f(0)= 3≠-f(0). 误区21未对参数进行分类讨论 易错题21（错误率34%）已知函数∫(x)=x2十|x a|十1，x∈R,a为实数，判断f(x)的奇偶性. 正解当a=0时，f(x)=x2+|x|+1, f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x+1=f(x), 故函数f(x)为偶函数， 5画出()=x的图象，由图象可知，f(号)=子、 23 即f)=x,有根号设A=0,2,1小， 由f0)=2(号)=1，f1)=0,知A中每-个元 素a均有f3(a)=a,故也有fis(a)=a,所以a∈B,从 而A二B. (偏)品+2-品 f()=()-21-瑞)-品 5(层)=f()=21-)-8 f(层)-f()=21-)-普 f.()=f()=21-)=品 可得f.(号)对n以5为周期变化 对C=层品岩是错中，每一个元素c均有 fs(c)=c,从而也有f5(c)=c,即c∈B→C二B, 又显见f(号）=号所以f(学)=子 故号∈B,可见，AUcU(号}CB, 即B中至少包含有宁10，号，品品是是总这 九个元素，D正确. 2.(1)因为f(x)=x2+1,x∈[-1,3]， 所以f(x)在[-1,0]上单调递减，在(0,3]上单调递增， 所以f(0)≤f(x)≤f(3),即1≤f(x)≤10， 所以f(x)的值域为C=[1,10],C的长度为d=9. (2)根据意意，)= 1-(x+1)(1-x),x∈[t,1], 1-(x+1)(x-1),x∈(1，t+1], x2,x∈[t,1], 即fx)=-2+2,xe1,+1 t∈(0,1)， 当x∈[t,1]时，f(x)=x2∈[t,1], 34 当x∈(1，t+1]时，f(x)=-x2+2∈[-t2-2t+1,1), 若t2≤-t2-2t+1,则f(x)的值域C=[t2,1],则 d=1-t2=1+t, t=-1或0，又t∈(0,1)，不合题意， 若t2>-t2-2t+1,则f(x)的值域C=[-t2-2t+ 1,1],则d=t2+2t=1十t, 即+1-1=0，解得4-52或-二125（合去）。 当：-2时满是>--2+1，符合题意。 所以存在实数1-2，使得C的长度d=1+ 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 变式训练答案 [变式1]设x1,x2是（一∞，十∞）上的任意两个实数， 且x1<x2,则有 f(x1)-f(x2)=(-x3+1)-(-x8+1) =x8-x =(x2一x1)(x2十x1x2十x) =,-x[+）+] x1<x2, >0(+)+是>0， 4[+）+]>o, 即f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). .函数f(x)=一x3十1在（一∞，十∞）上为减函数. -2x+1,x≤-1， [变式2]y=|x+1+|x-2|=3,-1<x≤2， 2x-1,x>2. 作出函数的图象如下： 1O2 由图象可知，函数的单调递减区间为（一∞，一1]，单调 递增区间为[2，十∞). [变式3](0,3].提示：分段函数的单调性应先分段再 综合考虑.因为f(x)在R上是单调递增函数，所以在 (-∞，l)上也是增函数，故a>0.设y=ax-1,x∈ (-o∞，1)，因为a>0,故y<a-1.而y=x2+1(x≥ 1)是增函数，且ymm=12十1=2，故只需a-1≤2即 可，求得a≤3.所以0<a≤3. [变式4]B提示：易知函数f(x)=2|x-a|+3的单 调递增区间为[a,十∞)，单调递减区间为（一∞，a]. 因为函数f(x)=2|x-a+3在区间[1，十∞)上不单 调，则a>1. [变式5]“f(）=fx)-fy), ∴f(）+f0)=f).f2=1,2=2f2. 令y=2,=2,∴x=4,f2)+f2)=f④0=2， 则不等式可转化为fx)-f(二3)≤f(4). a(信）a-. ∴.f(x(x-3)≤f(4). ,f(x)是定义在(0，十∞)上的增函数， x(x-3)≤4， -1x4, ∴不等式等价为x>0, 即Kx>0, x-3>0, x>3, 3<x≤4..不等式的解集为(3,4幻. 真题演练答案 1.B提示：对于函数y=(x一1)2，显然定义域为R,但 在（一∞，1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. 对于函数y=x3,显然定义域为R， 令y=f(x)=x3,任取x1,x2∈R,且x<x2, f(x1)-f(x2)=xi-x8=(x1-x2)(x+x1x2十x号) =1-x)[a+7x)广+]<0，即fx)< f(x2),故函数y=x3在R上单调递增， 函数y=的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，且在区 间（一∞，0），(0，十c∞)上单调递减. 对于函数y=|x|,显然定义域为R,但在（一∞，0）上 单调递减，在(0，十∞)上单调递增. 2.B提示：因为f(x)是R上的增函数，又a>1,所以当 x>0时，f(x)<f(ax),即g(x)<0;当x=0时，f(x)= f(ax),即g(x)=0;当x<0时，f(x)>f(ax),即 1,x>0, g(x)>0.由符号函数sgn(x)=0,x=0,知， 、-1,x<0 -1,x>0, sgn(g(x)=0,x=0, =-sgn (x). (1,x<0 3[g2 提示：由f(x)= fe2+2x+a-2,z≤0对 l-x2+2x-2a,x>0 任意x∈[-3，十∞)，f(x)≤|x恒成立， ①当-3≤x≤0时，x2+2x十a-2≤-x,即a≤-x2 3x十2，故a≤(-x2-3x十2).又y=-x2-3x十2= -(+)'+号在[-3，-2]上单调递增，在 [-2,0上单调递减当x=-3时y=2当x=0 时，y=2.从而ymin=2,故a≤2. ②当x>0时，-x2十2x-2a≤x,所以2a≥-x2+x, 2a>≥(-x2+x)x又y=-x2+x=-(x-2）+ 号在0，十o)上的最大值为片故6≥ 1 综上所述a的取值范围是[令，习 提示：，函数f(x)=ax3-x, ∴.f(t+2)-f(t)=[a(t+2)3-(t+2)]-(at3-t)= 6at2+12at+8a-2.存在t∈R,使得|f(t十2)-f(t)l 即存在∈R,使得号≤6au2+12at+8a≤号成立， 又3t2+6t+4=3(t+1)2+1>0, 2 4 六3(3r2+6+4)≤a≤3(32+62+4有解. 4 要求实数a的最大值，即求3(3x+6十的最大值 4 4 令803ar++9[e+1Wr+】 由复合函数的单调性知ge)=g(一1D=4=号 3 93 4 5B提示：函数可转化为f)=(c+号）)-+b. 35 ①当0≤-号≤1时，f(x)m=m=f(-g）=- +6,f (x)mx=M=max(f(0),f (1))=max(6,1+ a+b}, 放M-m=mx受，1+a+},与a有关，与6无关 ②当-号<0时，f(x)在[0,1]上单调递增， 故M-m=f(1)-f(0)=1十a,与a有关，与b无关， ③当-号>1时，f(x)在[0,1止单调递减， 故M-m=f(0)-f(1)=-1-a,与a有关，与b无关 综上所述，M一m与a有关，但与b无关. 练习册答案 A学考过关练 1.A提示：f(x)=x2-2ax十b开口向上，对称轴为 x=a,在区间(-∞，1]上是减函数，则a∈[1，十∞). 2.D提示：由题意，二次函数y=x2-ax十8的图象的 对称轴为直线x=受，函数y=丘在[0，十0)上为增 函数，，函数y=√x一ax十8在区间[1,2]上单调递 122-2a+8≥0， 孩号见 解得4≤a≤6，.a的取值 范围是[4,6]. 3C提示：f)-名=1+牛0若f)在区间 （一2，+∞)止单调递增，则十10 解得k≤-2. k≤-2， 4.BC提示：对于A选项，若函数f(x)在R上为增函 数，则对于任意的x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)< f(x2)一定成立，若f(3)>f(2)成立，不具有一般性， 比如f(2)>f(0)不一定成立，所以函数f(x)在R上 不一定是增函数，A错误；对于B选项，若函数f(x)在 R上为减函数，则对于任意的x1,x2∈R且x1<x2, f(x1)>f(x2)一定成立，所以f(3)<f(2)一定成立， 所以若f(3)>f(2),则函数f(x)在R上不是减函数， 故B正确；对于C选项，若定义在R上的函数f(x)在 区间（一∞，0]上是增函数，在区间[0，十∞）上也是增 函数，则满足对于任意的x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)< f(x2)一定成立，所以函数f(x)在R上是增函数，符 合增函数的定义，故C正确；对于D选项，设函数f(x)= 36 |x+1,x0, 是定义在R上的函数，且f(x)在区间 x-1,x>0 (一∞，0]上是增函数，在区间(0，十∞)上也是增函数， 而-1<1，但f(一1)=f(1),不符合增函数的定义，所 以函数f(x)在R上不是增函数，故D错误 5.ABC提示：A,B选项，y=f(x)在(0，十∞)上是减函 数，且0<x1<x2,故f(x1)>f(x2),f(x1)-f(x2)> 0,A,B正确；C,D选项，因为x1一x2<0,f(x1) f(x2)>0,所以(x1-x2)(f(x1)-f(x2)<0, f(x)-f(x)<0,C正确，D错误 x1-x2 (-x2十2x+3,x≥0， 6.(1)f(x)=-x2+2|x|+3= 画 -x2-2x+3,x<0, 出函数f(x)的图象如图所示. 由函数f(x)的图象得，函数f(x)的单调递增区间为 (-∞，一1)，(0,1)，单调递减区间为(-1,0)，(1，+∞). y=f(x) 8-2102345元 -2 (2)因为f(1)=f(-1)=4, 所以由函数f(x)的图象可得，f(x)的值域为（一∞，4]. x+3,x≤1， 7.(1)当k=1时，f(x)= 1-1,x>1, x+ 元 由f0m)=号 m+3-3 m+-1=2, 2'或 m十 m≤1 m>1, 解得m=一名或风=2，所以实数m的值为-号或2 (2)当x≤1时，f(x)=x+3,值域为(-∞，4幻.当x> 1时，分以下两种情形来讨论： 情形-：若0<k≤1，此时厦≤1，则f(x)=x+-1 x 在区间(1，十∞)上单调递增，此时f(x)的值域为(k, 十∞)，所以函数f(x)的值域为(-oo,4]U(k,十∞) =R,满足题意 所以0<k≤1满足题意。 情形二：若k>1,此时E>1,则f(x)=x+兰-1在