第3章 第1节 导数的概念及运算(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

(教师备用资源) 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1．考查形式 本章内容在高考中一般是命制一道小题和一道大题． 2．考查内容 (1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中． (2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题． 　导数的概念及运算 [考试要求]　1．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．2．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数：函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝ ＝ ． (2)函数f (x)的导函数f ′(x)：f ′(x)＝ ． 提醒：函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．导数的几何意义 函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)． 提醒：(1)瞬时速度是位移函数s(t)对时间的导数． (2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (3)曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条． 3．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xn(n∈Q*) f ′(x)＝nxn－1 f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x f (x)＝ax(a＞0且a≠1) f ′(x)＝axln a(a＞0且a≠1) f (x)＝ex f ′(x)＝ex f (x)＝logax(a＞0，且 f ′(x)＝(a＞0，a≠1) 且a≠1) f (x)＝ln x f ′(x)＝ 4．导数的运算法则 (1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1)＝－； (2)＝－(f (x)≠0)； (3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率． (　　) (2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)． (　　) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (　　) (4)函数f (x)＝sin(－x)的导数是f ′(x)＝cos x． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　) A．xsin x B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x B　[y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．] 2．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　) A．－9 B．－3 C．9 D．15 C　[因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9．故选C．] 3．已知函数f (x)的图象如图，f ′(x)是f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2) B．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2) C．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2) D．0＜f (3)