第2章 核心素养2 用数学思维思考世界——用活函数性质中的三个结论(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神. 奇函数的最值性质 　设函数f (x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 2　[显然函数f (x)的定义域为R， f (x)＝＝1＋， 设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．] [评析]　已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0．特别地，若奇函数f (x)在D上有最值，则f (x)max＋f (x)min＝0，且若0∈D，则f (0)＝0． 　(2023·四川成都模拟预测)函数f (x)＝ln＋(x2－2x)sin(x－1)＋2x＋1在[0，2]上的最大值与最小值的和为(　　) A．－2　　B．2　　C．4　　D．6 D　[将函数f (x)左移一个单位，得g(x)＝f (x＋1)＝ln＋(x2－1)sin x＋2x＋3，x∈[－1，1]， 则g(－x)＋g(x)＝6， 所以函数g(x)关于(0，3)对称，故最大值与最小值也关于(0，3)对称，其和为6，] 抽象函数的周期性 　已知函数f (x)为R上的奇函数，且f (－x)＝f (2＋x)，当x∈[0，1]时，f (x)＝2x＋，则f (101)＋f (105)的值为(　　) A．3　　B．2　　C．1　　D．0 A　[根据题意，函数f (x)为R上的奇函数，则f (0)＝0， 又由x∈[0，1]时，f (x)＝2x＋，则有f (0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，则有f (x)＝2x－， 又由f (－x)＝f (2＋x)，即f (x＋2)＝－f (x)，则有f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，即函数f (x)是周期为4的周期函数， 则f (101)＝f (1)＝2－＝，f (105)＝f (1)＝2－＝， 故有f (101)＋f (105)＝3．] [评析]　(1)如果f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a． (2)如果f (x＋a)＝(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a． (3)如果f (x＋a)＋f (x)＝c(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a． 　已知f (x)是定义在R上的函数，且满足f (x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f (x)＝x，则f ＝________． 　[∵f (x＋2)＝－，∴f (x＋4)＝f (x)， ∴f ＝f ，又2≤x≤3时，f (x)＝x， ∴f ＝，∴f ＝．] 抽象函数的对称性 　函数y＝f (x)对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (－x)成立，且函数y＝f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)的值为________． 0　[因为函数y＝f (x－1)的图象关于点(1，0)对称， 所以函数y＝f (x)的图象关于原点对称， 所以f (x)是R上的奇函数， 则f (x＋2)＝f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，故f (x)的周期为4． 所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1)＝4， f (2 022)＝f (505×4＋2)＝f (2)＝0， f (2 023)＝f (505×4＋3)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－4， 所以f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)＝0．] [评析]　已知函数f (x)是定义在R上的函数． (1)若f (a＋x)＝f (b－x)恒成立，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f (a＋x)＝f (a－x)恒成立，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (a－x)＝0，即f (x)＝－f (2a－x)，则f (x)的图象关于点(a，0)对称． 　已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝(　　) A．0　　　　B．m　　　　C．2m　　　　D．4m B　[∵函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (2－x)， 故函数f (x)的图象关于直线x＝1对称， 函数y＝|x