第2章 核心素养1 用数学眼光观察世界——与高等数学接轨的三类函数(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

高考数学与高等数学知识如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养. 欧拉公式 　欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0，欧拉公式被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[由题意得e2i＝cos 2＋isin 2，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点为(cos 2，sin 2)．因为2∈，所以cos 2＜0，sin 2＞0，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B．] [评析]　此类以欧拉公式为背景考查复数几何意义的试题，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解此类题的关键：一是会揭开数学文化的面纱，读懂题意；二是会进行三角运算，如本题，在读懂题意的基础上，需利用弧度制，判断角的范围，从而判断角的三角函数值的符号，即可得出复数在复平面中对应的点的位置． 　已知欧拉公式为eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)，若α∈(0，2π)，且e－iα表示的复数在复平面中对应的点位于第三象限内，则sin α＋cos α的取值范围是(　　) A．(1，] B．[－，] C．(－1，1) D．[－，－1) C　[因为e－iα＝cos(－α)＋isin(－α)＝cos α－isin α，所以结合题意可知点(cos α，－sin α)位于复平面的第三象限内，所以cos α＜0且－sin α＜0，又α∈(0，2π)，所以α∈，所以α＋∈，所以sin∈． 故sin α＋cos α＝sin∈(－1，1)．故选C．] 高斯函数 　高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3．已知函数f (x)＝，则函数y＝[f (x)]的值域是(　　) A．{0，1} B．(0，2) C．(0，1) D．{－1，0，1} A　[法一：因为f (x)＝＝＝2－∈(0，2)， 所以当f (x)∈(0，1)时，y＝[f (x)]＝0；当f (x)∈[1，2)时，y＝[f (x)]＝1． 所以函数y＝[f (x)]的值域是{0，1}．故选A． 法二：因为y＝[f (x)]不可能为小数，所以排除B，C； 又2x＞0，所以f (x)＝＞0，所以y＝[f (x)]≠－1，排除D．选A．] [评析]　求解此类题的关键是理解高斯函数的含义，若是以选择题的形式考查，可用取特值法达到秒解，如本题的方法二，对特殊值的敏感和对已知选项的挖掘，常常可从中提取有效的信息，而对它们的视而不见，则会导致与简便解法“擦肩而过”．注意对特值的选定，一要典型，能定性说明问题，二要简单，便于计算． 　高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2．则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x≤3；④当－1≤x＜1时，[x＋1]＋[－x＋1]的值为1，2．其中正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号) ①④　[①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正确； ②[x]＋[－x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3，2＋(－3)≠0； ③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，故错误； ④当－1≤x＜1时，0≤x＋1＜2，0＜－x＋1≤2， ∴[x＋1]＝0或1，[－x＋1]＝0或1或2， 当[x＋1]＝0时，[－x＋1]＝1或2； 当[x＋1]＝1时，[－x＋1]＝1或0； 所以[x＋1]＋[－x＋1]的值为1，2，故正确．] 狄利克雷函数 　德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f (x)＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，关于函数f (x)有如下四个命题： ①f (f (x))＝0； ②函数f (x)是偶函数； ③任取一个不为零的有理数T，f (x＋T)＝f (x)对任意的x∈R恒成立； ④存在三个点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))，C(x3，f (x3))，使得△ABC为等边三角形． 其中真命题的个数是(　　) A．1　　B．2　　C．3　　D．4 C　[对于①，当