第2章 第10节 函数模型及其应用(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　函数模型及其应用 [考试要求]　1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 1．常见的7种函数模型 (1)正比例函数模型：f (x)＝kx(k为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f (x)＝(k为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f (x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)； (4)二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (5)指数函数模型：f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)； (6)对数函数模型：f (x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)； (7)幂函数模型：f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)． 提醒：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．三种函数模型的性质 　　函数 性质　　 y＝ax (a＞1) y＝logax (a＞1) y＝xn (n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax [常用结论] 形如f (x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0，x＝时，函数有最小值2， 当x＜0，x＝－时，函数有最大值－2． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． (　　) (2)不存在x0，使ax0＜x＜logax0． (　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度． (　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． (　　) (5)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售后因库存积压降价处理，若按九折出售，则每件还能获利． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 二、教材习题衍生 1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如表所示： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x D　[在直角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选D．] 2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　) (注：结余＝收入－支出) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 D　[由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知， 前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．] 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 18　[利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．] 4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km；如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价．则客运票价y(元)与行程数x(km)之间的函数关系式是________． y＝　[由题意可得 y＝] 考点一　用函数图象刻画变化过程 　 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 1．(2020·新高考Ⅱ卷改编)我国某流行疾病病情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法