第2章 第4节 函数性质的综合问题(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　函数性质的综合问题 考点一　函数的奇偶性与单调性 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)＞f (x2)或f (x1)＜f (x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [典例1]　(1)定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，则不等式x·f (x)>0的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－2，0)∪(0，2) C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，2) (2)(2023·南通模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a＝，b＝，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a (1)C　(2)D　[(1)定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0， 所以f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (－2)＝0， x·f (x)>0⇒或故x>2或－2<x<0，故选C． (2)令0＜x1＜x2， 由＞0，x1＜x2， 得x2f (x1)－x1f (x2)＞0， 即－＞0， 所以y＝在(0，＋∞)上单调递减，又0.23＜，sin 1＞sin ＝，ln 3＞1， ∴ln 3＞sin 1＞0.23， 又＝＝， ∴c＜b＜a，故选D．] 点评：解答此类题目时，奇偶性的作用是把不在同一单调区间的自变量转化到同一单调区间上． [跟进训练] 1．(2022·江苏南通市高三二模)已知函数f (x)满足f (x)＝f (－x)，当x≥0时，f (x)＝3x＋2x，则不等式f (x－2)<13的解集为(　　) A．(－∞，0)∪(4，＋∞) B．(0，4) C．(0，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) B　[依题意知f (x)为偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时，f (x)单调递增，且f (2)＝13，所以f (x)<13的解集为(－2，2)．将f (x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度后可得f (x－2)的图象，所以不等式f (x－2)<13的解集为(0，4)．] 2．已知奇函数f (x)在x＞0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x－1)＞0，则x的取值范围为(　　) A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2} C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1} A　[∵奇函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，∴函数f (x)在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，则－1＜x＜0或x＞1时，f (x)＞0；x＜－1或0＜x＜1时，f (x)＜0．∴不等式f (x－1)＞0即－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，故选A．] 考点二　函数的奇偶性与周期性 　 利用函数的奇偶性和周期性求值的策略 已知f (x)是周期函数且为偶(奇)函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解． [典例2]　(1)已知f (x)是定义在R上的偶函数，并且f (x＋2)＝－，若当2≤x≤3时，f (x)＝x，则f (105.5)＝________． (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则(k)＝(　　) A．－3　　B．－2　　C．0　　D．1 (1)2.5　(2)A　[(1)由f (x＋2)＝－得f (x＋4)＝f ((x＋2)＋2)＝－＝f (x)， ∴函数f (x)是周期为4的周期函数． ∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5． (2)令y＝1得f (x＋1)＋f (x－1)＝f (x)·f (1)＝f (x)⇒f (x＋1)＝f (x)－f (x－1)， 故f (x＋2)＝f (x＋1)－f (x)，f (x＋3)＝f (x＋2)－f (x＋1)， 消去f (x＋2)和f (x＋1)得到f (x＋3)＝－f (x)，故f (x)周期为6； 令x＝1，y＝0得f (1)＋f (1)＝f (1)·f (0)⇒f (0)＝2， f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2， f (4)＝f (3)－f (2)＝－2－(－