第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　函数的奇偶性与周期性 [考试要求]　1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x 都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)是偶函数 都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f (x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f (x)为奇函数⇔f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1． ②f (x)为偶函数⇔f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x)的最小正周期． 提醒：若T是函数f (x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f (x)的周期． [常用结论] 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f (x)在x＝0处有定义，那么一定有f (0)＝0． (2)如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)． (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)若y＝f (x＋a)是奇函数，则f (－x＋a)＝－f (x＋a)，y＝f (x)关于(a，0)对称；若y＝f (x＋a)是偶函数，则f (－x＋a)＝f (x＋a)，y＝f (x)关于x＝a对称． 2．周期性的几个常用结论 对f (x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 (1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a＞0)； (2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)； (3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 3．函数的图象的对称性 (1)函数y＝f (x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f (x)为偶函数)，则 ①f (a＋x)＝f (a－x)；②f (2a＋x)＝f (－x)；③f (2a－x)＝f (x)． (2)函数y＝f (x)，若其图象关于点(a，0)中心对称(a＝0时，f (x)为奇函数)，则 ①f (a＋x)＝－f (a－x)；②f (2a＋x)＝－f (－x)； ③f (2a－x)＝－f (x)． (3)函数y＝f (x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则 ①f (a＋x)＋f (a－x)＝2b；②f (2a＋x)＋f (－x)＝2b； ③f (2a－x)＋f (x)＝2b． (4)函数f (x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f (2a－x)． (5)函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f (x)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． (　　) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． (　　) (3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 二、教材习题衍生 1．下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x3　　　　　　 B．y＝x2 C．y＝|ln x| D．y＝2－x B　[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B．] 2．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f (x)＝x(1＋x)，则f (－1)＝________． －2　[f (1)＝1×2＝2， 又f (x)为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2．] 3．设f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f (x)＝则f ＝________． 1　[f ＝f ＝－4×＋2＝1．] 4．设奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)＜0的解集为________． (－2，0)∪(2，5]　[由图象可知，当0＜x＜2时，f (x)＞0； 当2＜x≤5时，f (x)＜0， 又f (x)是奇函数， ∴当－2＜x＜0时，f (x)＜0，当－5≤x＜－2时，f (x)＞0． 综上，f (x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5]．] 考点一