第2章 第2节 函数的单调性与最值(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　函数的单调性与最值 [考试要求]　1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间． 提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I，都有f (x)≤M； ②存在x0∈I，使得f (x0)＝M ①对于任意的x∈I，都有f (x)≥M； ②存在x0∈I，使得f (x0)＝M 结论 M为y＝f (x)的最大值 M为y＝f (x)的最小值 [常用结论] 1．函数单调性的结论 (1)∀x1，x2∈D(x1≠x2)， ＞0⇔f (x)在D上是增函数；＜0⇔f (x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． (3)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数． (4)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)的单调性相反． (5)函数y＝f (x)在公共定义域内与y＝(f (x)≠0)的单调性相反． (6)复合函数y＝f (g(x))的单调性与函数y＝f (u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 2．函数最值存在的两个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　) (2)若定义在R上的函数f (x)有f (－1)＜f (3)，则函数f (x)在R上为增函数． (　　) (3)函数y＝f (x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． (　　) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．下列函数中，定义域为R且为减函数的是(　　) A．y＝e－x B．y＝x3 C．y＝ln x D．y＝|x| A　[函数y＝e－x定义域为R且为减函数．y＝x3定义域为R且为增函数．函数y＝ln x定义域为(0，＋∞)．函数y＝|x|定义域为R，但在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故选A．] 2．函数f (x)＝x2－2x的单调递增区间是________． [1，＋∞)　[f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因此函数f (x)的单调递增区间为[1，＋∞)．] 3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 　[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－．] 4．已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________． 2　　[易知函数f (x)＝在x∈[2，6]上为减函数，故f (x)max＝f (2)＝2， f (x)min＝f (6)＝．] 考点一　求函数的单调区间 　1．求函数单调区间的常用方法 2．求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”． [典例1]　求下列函数的单调区间： (1)f (x)＝－x2＋2|x|＋1； (2)f (x)＝； (3)f (x)＝． [解]　(1)由于 y＝ 即y＝ 画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． (2)由x＋1≠0得x≠－1，即函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， f (x)＝＝＝2－ ，其图象如图所示． 由图象知，函数f (x)的单调递增区间为(－∞，