第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　命题及其关系、充分条件与必要条件 [考试要求]　1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 pq，且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq，且qp p是q的既不充分也不必要条件 提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA， A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB， 弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论． [常用结论] 1．等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于﹁q是﹁p的充分不必要条件．其他情况依次类推． 2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) “x2＋2x－3<0”是命题． (　　) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”． (　　) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　) (4) “若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．下列命题是真命题的是(　　) A．矩形的对角线相等 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若整数a是素数，则a是奇数 D．命题“若x2＞0， 则x＞1”的逆否命题 A　[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．] 2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　) A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2” C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2” C　[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C．] 3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2．故选B．] 4．命题“若α＝，则sin α＝”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”) 假　假　[“若α＝，则sin α＝”的逆命题为“若sin α＝，则α＝”是假命题；否命题为“若α≠，则sin α≠”是假命题．] 考点一　命题及其关系 　判断命题真假的两种方法 1．(2022·四川仁寿一中二模)命题“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题是(　　) A．若－2＜x＜2，则x2＜4 B．若x2≥4，则x≥2或x≤－2 C．若－2＜x＜2，则x2≥4 D．若x≥2或x≤－2，则x2≥4 D　[原命题的条件是“若x2＜4”，结论为“－2＜x＜2”，则其逆否命题是：若x≥2或x≤－2，则x2≥4．] 2．有下列四个命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④“若(x－1)2＋(y－2)2≠0，则x≠1或y≠2”的逆命题． 其中真命题的个数为(　　) A．1　　B．2　　C．3　　D．4 C　[对于①，“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题； 对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题； 对于③，∵q≤1时，一元二次方程的判别式Δ＝4－4q≥0，故有实根，原命题为真命题，从而它的逆否命题为真命题； 对于④，原命题的否命题“若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则x＝1且y＝2”为真命题，逆命题与否命题互为逆否关系，同真假，故④为真命题．]