专题04 二次函数

专题04 二次函数 二次函数及其性质 1.定义:形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数. 2.二次函数解析式的三种形式 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(x1,x2是二次函数图象与x轴两交点的横坐标) 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0) a a>0 a<0 图象 开口 方向 抛物线开口向上,并向上无限延伸 抛物线开口向下,并向下无限延伸 对称轴 直线x=- 直线x=- 顶点 坐标 (-,) (-,) 最值 抛物线有最低点,当 x=-时,y有最小值, y最小值= 抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值, y最大值= 增减性 在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而增大,简记“左减右增” 在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而减小,简记“左增右减” 4.二次函数的图象与相应一元二次方程的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根 Δ>0 与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0) 有两个不同的解x=x1,x=x2 Δ=0 与x轴有唯一一个交点 (-,0) 有两个相等的解x1=x2=- Δ<0 与x轴没 有交点 没有实数根 5.二次三项式的配方法 若a≠0, 则y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c=a[x2+2×x+()2]+c-()2×a=a(x+) 2+. 题型一：求二次函数的解析式 例 1．已知二次函数（，是常数，且），，且方程有两个相等的实数根．求函数的解析式； 【答案】. 【分析】根据方程有两个相等的实数根对应的以及求解出的值，则的解析式可求； 【详解】解：由题设有两个相等的实数根，所以， 即有两个相等的实数根， ， 即， 又，即， ， 解得， ； 2．已知是二次函数，的解集是，且．求函数的解析式. 【答案】 【分析】设，根据得到. 【详解】是二次函数，的解集是且， 所以设，，， 3．已知二次函数满足，且.求函数的解析式； 【答案】. 【解析】设出二次函数的解析式，根据题意结合待定系数法求解即可； 【详解】解：根据题意，二次函数满足，设其解析式为 又由 ∴ ∴，解得， 则； 练习： 1．已知是二次函数，且．求函数的解析式； 【答案】. 【分析】由，，结合韦达定理，可得. 【详解】设. ∵， ∴， 又， ∴是方程的两个根， ∴，解得， ∴. 2．二次函数满足，且,求的解析式. 【答案】 【分析】待定系数法求解解析式. 【详解】设， 则， 又因为， 所以， 解得：， 又 所以的解析式为. 3．已知二次函数，满足，且的最小值是．求的解析式. 【答案】. 【分析】由已知条件列方程组，可求出的值，从而可得； 【详解】因为， 所以， 由二次函数的性质得， 解得， 所以 4. 已知二次函数，若，且方程有两个相等的实根．求函数的解析式. 【答案】. 【分析】由及方程有两个相等的实根,可得到关于的等式,求解即可得到的解析式. 【详解】根据题意,二次函数， 若,则,即, 又方程有两个相等的实根,即方程有两个相等的实根, 则,解得,. 故. 题型二：求二次函数的最值 例：1．已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，由二次函数的性质即可求出在上的最值； （2）二次函数的对称轴为，分类讨论，和，即可得出在上的单调性，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）当时，，， 因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为：， 当时，取得最大值为：， （2）二次函数的对称轴为， 当，则，此时在上单调递增，所以， 当，则，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，则，此时在上单调递减， 所以. 所以 2．二次函数 (1)求在上的最值; (2)求在上的最小值. 【答案】(1)在上的最小值为，最大值为 (2)时，；时，；时， 【分析】（1）配方后得到函数单调性，进而求出最值； （2）结合对称轴，对分类讨论，求出不同情况下函数的最小值. （1）， 所以当时，单调递减，在上单调递增， 又，，， 因为 故在上的最小值为，最大值为. （2）， 当，即时，在上单调递减， 所以； 当且,即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递增， 所以； 综上：时，； 时，； 时，.