专题07 三角形的五心

专题07 三角形的五心 1.重心：三角形的三条中线交点． （1）重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍 (2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 (3)在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数 2.外心：是三角形三边中垂线的交点． （1）它到各顶点的距离相等 （2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外 3.内心：是三角形的三内角平分线的交点． （1）内心是三角形内切圆的圆心，内心一定在三角形内． （2） 三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r （3）在Rt△ABC中，∠C=90°， 4.垂心：是三角形三条高的交点． （1）垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆 （2）锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外． 5.旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点； 旁心到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。 练习： 1．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（　　） A．2 B． C． D． 2．如图，E为△ABC的重心，ED＝3，则AD＝______. 3．如图，已知，且经过的重心，若，那么等于_____．    4．如图，已知点D是△ABC的重心，若△ABC面积是8，则△ABE的面积为（　　） A．4 B．8 C．10 D．16 5． 和三角形三个顶点相连后，一定能把三角形分成面积相等的三部分的是该三角形的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6．已知点G为△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BCG的面积为_____． 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 8．如图，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠A＝_________°． 9．在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝4，点O是△ABC的内心，则△ABC的内切圆半径为（　　） A．2 B．4﹣2 C．2﹣ D．2﹣2 10．如图，在中，，，O为的内心．若的面积为20，则的面积为（　　） A．20 B．15 C．18 D．12 11．如图，O是△ABC的内心，OD⊥BC于点D，OD＝2，若△ABC的周长为12，则△ABC的面积是（    ） A．12 B．24 C．6 D．3 12．的内切圆半径为r，的周长为．则的面积=__________________（提示：设的内心为O，连接．） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形的五心 1.重心：三角形的三条中线交点． （1）重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍 (2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 (3)在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数 2.外心：是三角形三边中垂线的交点． （1）它到各顶点的距离相等 （2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外 3.内心：是三角形的三内角平分线的交点． （1）内心是三角形内切圆的圆心，内心一定在三角形内． （2） 三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r （3）在Rt△ABC中，∠C=90°， 4.垂心：是三角形三条高的交点． （1）垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆 （2）锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外． 5.旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点； 旁心到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。 练习： 1．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键． 2．如图，E为△ABC的重心，ED＝3，则AD＝______. 【答案】9 【分析】根据重心的性质可求得AE=6，即可求得AD 【详解】∵E为△ABC的重心，ED＝3，∴AE＝2ED＝6，∴AD＝AE＋ED＝6＝3＝9 【点睛】本题考查重心的性质，解题的关键是掌握重心的性质. 3．如图，已知，且经过的重心，若，那么等于_____．    【答案】4 【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，进而求出答案． 【详解】解：连接并延长到上一点，如下图，    ∵的重心，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键