2023年北京大学强基计划测试数学试题

2023年北京大学强基计划测试数学试题 考试时间2023年6月29日10：00-11：00，总共20道单选题，时间为1小时 1.定义有理复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理复数为实部和虚部为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理复数，则三角形的重心对应的复数是（ ） A.只能是有理复数或半有理复数 B.只能是无理复数或伴有理复数 C.只能是半有理复数 D.以上都不对 2.方程在上解得个数为______. 3.数列满足：，则除以7的余数为（ ） A.1 B.2 C.4 D.以上都不对 4.集合，则的元素两两互素的三元子集个数为_______. 5．函数在上最大值是_______. 6.集合，则的互不相交各元素之和为17的倍数的二元子集最多有_____个. 7.方程的实根个数为_____. 8.十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点，问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为______个区域. 9.一个三角形的一条高长为2，另一条高长为4，则这个三角形内切圆半径取值范围是______. 10.表示正整数除以的余数之和，则满足的两位数的个数为______. 11.已知正整数数列严格递增，，且，则这样的数组的个数为______. 12.已知点，延长至使，那么点到距离最大值和最小值之积为______. 13.三个互不相等的正整数最大公约数为20，最小公倍数为20000，那么这样的不同的正整数组的个数为______. 14.由构成的集合元素的个数为______. 15.已知集合，甲虫第一天在原点,第天从第天位置出发沿向量移动，其中，用表示第天甲虫可能在多少个不同的位置上，则______. 16.方程解得个数为______. 17.已知均为正整数，且均为正整数，则的最大值和最小值之和为______. 18.已知，且是的一个排列，则 得到的不同数的个数为______. 19 .已知正整数且，则在取得最大值的情况下，的最大值为______. 20.由50个队伍进行排球单循环比赛，胜一局积1分，负一局积0分，且任取27支队伍能找到一个全部战胜其余26支队伍和一支全部负于其余26支队伍的，问这50支队伍总共最少有______种不同的积分. 2023年北京大学强基计划测试数学试题解析 1.定义有理复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理复数为实部和虚部为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理复数，则三角形的重心对应的复数是（ ） A.只能是有理复数或半有理复数 B.只能是无理复数或伴有理复数 C.只能是半有理复数 D.以上都不对 解：D 重心为有理复数的例子： 重心为无理复数的例子： 重心为半有理复数的例子： 2.方程在上解得个数为______. 解：0 设，则方程为，考虑方程实根，设其共轭虚根为，得，所以没有模长为1 的根。 3.数列满足：，则除以7的余数为（ ） A.1 B.2 C.4 D.以上都不对 解：B 设数列满足：,则， 进而 ， 所以 4.集合，则的元素两两互素的三元子集个数为_______. 解：42 三个奇数： 两个奇数一个偶数，按照选择的偶数分类计算可得 答案为 5．函数在上最大值是_______. 解： 在上 等号当且仅当取得。 6.集合，则的互不相交各元素之和为17的倍数的二元子集最多有_____个. 解： 由，所以答案为 7.方程的实根个数为_____. 解：1 设，则 所以在上单调递增，其次数为5，只有一个实根. 8.十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点，问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为______个区域. 解：246 设分成区域的个数为，其相当于某个具有个面的多面体 的投在其中一个面所在面的投影，则 , 其中 所以. 9.一个三角形的一条高长为2，另一条高长为4，则这个三角形内切圆半径取值范围是______. 解： 设三角形的边为，内切圆半径为，则 则，所以. 10.表示正整数除以的余数之和，则满足的两位数的个数为______. 解：0 设除以这9个数的余数为易得 由题意上述9个差中正数与负数之和为0，必然有 若，则，不符合题意，所以， 只能. 所以且，但，不可能. 11.已知正整数数列严格递增，，且，则这样的数组的个数为______. 解：40425 构造函数 学科网（北京）股份有限公司 $