(教参)第21章 阶段任务性复习 一元二次方程实际问题模型-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步(人教版)

一元二次方程实际问题模型 问题：完成下列1～5题，想一想一元二次方程有哪几种问题模型？ 1. “山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是(　B　) A. x(x＋1)＝210 B. x(x－1)＝210 C. 2x(x－1)＝210 D. x(x－1)＝210 2. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(　B　) A. 560(1＋x)2＝315 B. 560(1－x)2＝315 C. 560(1－2x)＝315 D. 560(1－x2)＝315 3. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(　A　) A. (3＋x)(4－0.5x)＝15 B. (x＋3)(4＋0.5x)＝15 C. (x＋4)(3－0.5x)＝15 D. (x＋1)(4－0.5x)＝15 4. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(　B　) A. x(5＋x)＝6 B. x(5－x)＝6 C. x(10－x)＝6 D. x(10－2x)＝6 5. 两个连续偶数的积为8，则这两个连续偶数是 2和4 . 模型1　几何图形问题 如图，在解决甬道或者边框问题时，灵活运用“平移变换”对分离的图形的面积“整体表示”，使问题简化． 【例1】如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭．观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽． 解：设道路的宽为x米，则正方形的边长为4x米． 依题意，得x(12－4x)＋x(20－4x)＋16x2＝×20×12，即x2＋4x－5＝0， 解得x1＝1，x2＝－5(不合题意，舍去)． 答：道路的宽为1米． 【练习】 1. 如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为 1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，则张大叔购回这张矩形铁皮共花了 350 元． 解析：设此长方体箱子的底面宽为x米， 则长为(x＋2)米， 依题意，得1·x(x＋2)＝15， 整理，得x2＋2x－15＝0， 解得x1＝3，x2＝－5(不合题意，舍去)， ∴矩形铁皮的长为x＋2＋2＝7(米)，宽为x＋2＝5(米)， ∴购回这张矩形铁皮的费用为7×5×10＝350(元)． 2. 已知一本数学书长为26 cm，宽为18.5 cm，厚为1 cm.一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1 408 cm2，虚线表示的是折痕．由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形，求正方形的边长． 解：设正方形的边长为x cm， 由题意，得(18.5×2＋1＋2x)(26＋2x)＝1 408， 化简，得x2＋32x－105＝0， 解得x1＝3，x2＝－35(不合题意，舍去)． 答：正方形的边长为3 cm. 模型2　变化率问题 变化率问题常用公式：a(1±x)n＝b(其中a是起始量，x是平均变化率，n是变化的次数，b是终止量)．起始量经过一次变化后达到a(1±x)；第二次变化后达到a(1±x)2；第三次变化后达到a(1±x)3；…；依次类推． 【例2】某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2 000 kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000 kg，求南瓜亩产量的增长率． 解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x. 根据题意，得10(1＋2x)·2 000(1＋x)＝60 000， 解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2(不合题意，舍去)． 答：南瓜亩产量的增长率为50%. 【练习】 1. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则可列方程为(　C　) A. 50(1＋x2)＝196 B. 50＋50(1＋x2)＝196 C. 50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D. 50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196 2. 某企业每