第15讲 球（6种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第15讲 球（6种题型） 【知识梳理】 1、球的定义： 半圆绕着它的直径所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做球，记作球。半圆绕着它的直径旋转所得到的图形不叫球，叫球面，球面所围成的几何体叫做球．大家要注意球面和球是不同的两个概念．点到球面上任意点的距离都相等，把点称为球心，原半圆的半径和直径分别成为球的半径和球的直径。球面被过球心的平面所截得的圆，叫做球的大圆；被不经过球心的平面所截得的圆，叫做球的小圆． 2、球的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面；设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r= 圆的主要性质 球的主要性质 1 平面内与定点距离等于定长的点集 （轨迹） 空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面 2 同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍 同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍 3 与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距离2＋弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径2 4 不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦 不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆 5 过切点的圆半径垂直于圆的切线 过切点的球半径垂直于球的切面 6 圆周长＝2π×圆半径 大圆周长＝2π×球半径 3、球的表面积、体积公式：表面积：；球的体积公式：． 【考点剖析】 题型一：球的体积 例1.（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A． B． C． D． 【变式1】已知球的半径为，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（2021·上海·闵行中学高二期中）表面积为的球的体积是__________． 题型二：球的表面积 例2.已知正方体的棱长为2.它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是 A．8π B．12π C．16π D．20π 【变式1】棱长为的正方体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式2】将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的封闭几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知三棱锥，若平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式4】（上海市嘉定区第一中学高二期中）棱长为a的正方体外接球的表面积为________ 【变式5】已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________ 【变式6】A、B、C是球O表面上三点，AB=6㎝，∠ACB=30°，点O到△ABC所在截面的距离为5㎝，求球O的表面积． 【变式7】（2021·上海市复兴高级中学高二期中）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（    ） A．12π B．13π C． D． 题型三：球的综合运用 例3.体积为的球半径为________. 【变式1】若两个球的体积之比是，则它们的表面积之比是______． 【变式2】已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式4】（2021·上海高二专题练习）有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为________厘米 【变式5】（2022·上海·高二单元测试）定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.在空间中，记边长为1的正方形区域（包括边界及内部的点）为，则到距离等于1的点所围成的几何体的体积为___________. 【变式6】（2022·上海海事大学附属北蔡高级中学高二阶段练习）已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为___________千米（结果保留到1千米）. 【变式7】一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为，高为的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是多