第11讲 异面直线间的距离（4种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第11讲 异面直线间的距离（4种题型） 【知识梳理】 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 【考点剖析】 题型一：异面直线间的距离 例1（2020·上海高二期末）已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为__________. 【变式1】（上海市第二中学高二期中）已知长方体的棱、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线和的距离是______cm. 【变式2】（上海交大附中高二月考）四面体中，为等腰直角三角形，，，且，则异面直线与的距离为_____________ 【变式3】（上海位育中学高二期末）若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为___________． 【变式4】（上海高二期中）在棱长为的正方体中，异面直线和的距离为 ． 【变式5】已知线段平面，为垂足，，且与平面成30°角，．求： （1）异面直线与间的距离； （2）、两点间的距离． 题型二：点面距离 例2．（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【变式1】（2022秋·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在棱长为1的正四面体中，点到平面的距离为______． 【变式2】（2023春·上海杨浦·高二同济大学第一附属中学校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．    例3．（2023·上海·高三专题练习）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点. (1)求直线与所成的角的大小； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离. 【变式1】（2023·上海·高三专题练习）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【变式2】（2023·上海奉贤·校考模拟预测）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且. (1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点； (2)求点C到平面BED的距离. 【变式3】（2022秋·上海嘉定·高二校考期末）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，. (1)求与平面所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 【变式4】（2021秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）如图，四面体中，，． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【变式5】（2022秋·上海静安·高二上海市市西中学校考期末）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，． (1)求与平面所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式6】（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）如图，已知长方体，，，直线BD与平面所成角为30°，AE垂直BD于E． (1)若F为棱的动点，试确定F的位置，使得平面，并说明理由； (2)若F为棱的中点，求点A到平面的距离； (3)若F为棱上的动点（除端点､外），求二面角的平面角的范围． 题型三：线面距离 例4．（2022·上海·高二专题练习）在长方体中，，，，那么到平面的距离为______. 【变式1】（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__． 【变式2】（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）若正四棱柱的底面边长为1，直线与底面所成角的大小是，则到底面的距离为______． 【变式3】（2023·上海·高二专题练习）已知长方体的棱，和的长分别为3cm、4cm和5cm，则棱到平面的距离为____________cm 【变式4】（2023·上海·高二专题练习）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________. 例5.（2023·上海·高二专题练习）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离. 【变式1】（2022·上海·高二专题练习）正四棱锥P—ABCD，棱长都为2，E、F、G分别是棱PA、PB、PC的中点 (1)求证：平面EFG//平面ABCD； (2)求直线AB到平面PCD的距离 【变式2】（2022秋·上海·高二期中）如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面？若存在，