第10讲 平面与平面平行、二面角-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第10讲 平面与平面平行与二面角 【知识梳理】 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 6、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 7、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 8、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 【说明】 （1）二面角的平面角范围是； （2）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直； （3）二面角的求法：① 几何定义法；② 空间向量法；③射影面积法. 求解二面角的常用方法： 1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法； 2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法； 3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法； 4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 9、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 10、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 　　注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 11、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 【考点剖析】 题型一：面面平行 例1在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ） A．， B．m，n是两条异面直线，且，，， C．m，n是内的两条直线，且， D．内存在不共线的三点到的距离相等 【变式1】设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A．存在一条直线，， B．存在一条直线，， C．存在两条平行直线、，，，， D．存在两条异面直线、，，，， 【变式2】如图，在正方体中，点，，分别是，，的中点，给出下列5个推断： ①平面； ②平面； ③平面； ④平面平面； ⑤平面平面. 其中推断正确的序号是_________. 题型二：证明面面平行 例2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： （1）直线EG平面BDD1B1； （2）平面