江苏省无锡市天一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题(理强)

江苏省天一中学2022-2023学年春学期高一期末考试（理科） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 半径 的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（ ） A. 恰有2名男生与恰有4名男生 B. 至少有3名男生与全是男生 C. 至少有1名男生与全女生 D. 至少有1名男生与至少有1名女生 5. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 6. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ） A 6，，5 B. 5，5，5 C. 5，，6 D. 4，5，6 7. 已知点D为边BC上的中点，点E满足，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 8. 病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（ ） A. 甲组数据中位数大于乙组数据中位数 B. 甲组数据平均数大于乙组数据平均数 C. 甲组数据平均数大于甲组数据中位数 D. 乙组数据平均数大于乙组数据中位数 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若，，，为复数，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（ ） A B. C. D. 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A. B. C. 若A与B互斥，则 D. 一定有 12. 如图，多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形，则（ ） A. B. 平面平面FAB C. 直线EA与平面ABCD所成角为 D. 点E到平面ABF的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 掷两颗骰子，则所得点数之和为6的概率为______． 14. 如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是__________ . 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则BC边上的高的最大值为__________. 16. 为获得天一中学高一学生的身高（单位：cm）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的均值为_________cm，方差为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位 （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 18. 龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米. （1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值； （2）计算龙光塔的高度. 19. 如图，在四棱锥中，，，，是棱上一点. （1）若，求证：平面； （2）若平面平面，平面平面，求证：平面. 20. 某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示. （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）估计测评成绩的第分位数； （3）已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立?请证明你的结论. 21. 如图，在正三棱台中，底面是边长为的正三角形，且. （1）证明：； （2）求异面直线、所成角的余弦值.