精品解析：湖北云学联盟2026-2027学年高三上学期10月阶段训练数学试题

2026年高三年级10月阶段训练 数学试卷 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将答题卡上此题对应选项的标号涂黑） 1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由于，， 故，即的元素个数为1， 因此的真子集个数为． 2. 复数在复平面所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】. 复数在复平面内对应的点为，该点在第四象限. 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， . 4. 设等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 10 B. 30 C. 50 D. 70 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 所以， 所以， 所以. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正余弦齐次式求法可构造方程求得，代入中即可求得结果. 【详解】，，解得， . 6. 甲、乙、丙、丁等四位志愿者分配到A，B，C三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲、乙不能被分配到同一个场馆，则不同分配方案的种数是（ ） A. 24 B. 30 C. 33 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】利用间接法，先计算所有可能种数，减去甲、乙被分配到同一个场馆的情况种数即可得. 【详解】将四人随机分共有种， 其中甲、乙被分配到同一个场馆的情况有种， 故满足题意的不同分配方案的种数为种. 7. 若函数最小正周期为，且在有个零点，则在零点个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得在上有个零点，再结合函数周期性可得在、、内零点个数分别为、、，即可得在上零点个数，即可得解. 【详解】当时，，则在上有个零点， 又函数最小正周期为，则在、、内零点个数相同， 且在内零点个数小于或等于在内零点个数， 故在、、内零点个数分别为、、， 当时，， 在、、、、内各有个零点， 在内有个零点， 即在上共有个零点， 故在零点个数为. 8. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由正弦定理表示出的外接圆半径，由三角形面积公式、余弦定理、正弦面积公式表示出的内切圆半径， 根据同时结合倍角公式化简整理得到，再根据范围得到的最大值，即可列不等式求解. 【详解】设，的外接圆半径和内切圆半径分别为，, 由椭圆定义得； 由正弦定理， 由得， 由正弦面积公式得，所以 在中，由余弦定理得， 即， 所以，代入得； 又，即，则， 又因为，代入上式得 ， 又因为当为椭圆的上下顶点时，取最大值，即取最大值，所以此时取最大值， ，因此； 所以， 因为，所以，不等式整理得，解得. 二、多选题选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目的要求，请将答题卡上此题对应的上述选项的标号都涂黑） 9. 若正数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是9 D. 的最小值是5 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式即可确定的最大值；对于B，将代入，结合二次函数的性质求最值；对于C，利用基本不等式“1”的代换有即可求最小值；对于D，将代入，利用基本不等式即可求最小值. 【详解】对于A，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时的最大值为，故A错误； 对于B，， 又，所以当时，有最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 此时有最小值是9，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立， 此时有最小值是5，故D正确. 10. 函数（，，）图象如图所示，如下判断正确的是（ ） A. B. C. 是的一个零点 D. 的对称轴为， 【答案】AD 【解析】 【详解】对于AB，显然从图象中看出函数最小值为，故， 由题意得，故， 由于在函数单调递减区间上，且，所以，B错误； ，故， 故，，解得，， ，设函数最小正周期为，显然，故， 故，中，只有时，满足题意，所以，A正确； 对于C，，故， 故不是的一个零点，C错误； D选项，令，，解得，， 故的对称轴为，，D正确 11. 对于连续可导函数，定义：若函数在区间上满足单调递增，则称在区间上为下凸函数；若函数在区间上满足单调递减，则称在区间上为上凸函数；若在左右上凸下凸相异，称为的拐点，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在R上为下凸函数 B. 函数不存在拐点 C. 若函数不存在拐点，则的取值范围为 D. 设函数的横坐标最小的拐点为，横坐标第二小的拐点为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题干定义，下凸函数要求单调递增，上凸函数要求单调递减；逐个分析导数单调性、零点以及符号变化来判断命题真假. 【详解】对于A，，， 因为在上单调递增，由定义，在上为下凸函数，故A正确； 对于B，，，令，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 处，左右两侧单调性改变，所以是拐点，故B错误； 对于C，，， 令，得. 因为恒成立，函数不存在拐点，所以恒成立. 由，得， 所以的取值范围是，故C正确； 对于D，，， 令，得. ，. 设，方程为. 方程的正根依次落在， 记最小正根，第二小正根，，. ，，. ；. 由，结合， ，，同理得. 由，得，， 所以. 即，故D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．请将每小题的正确答案填写在答题卡上对应的位置） 12. 圆C：在原点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程配方化为标准方程，利用切线与半径垂直的性质求斜率写出切线方程即可. 【详解】将圆的一般方程配方化为标准方程： ， 整理得，因此圆心的坐标为. 因原点在圆上，，则切线的斜率, 故该圆在原点处的切线方程为. 13. 如图，在长方体中，，，，点E，F分别在，上，且，，则平面与平面夹角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求面与面的夹角余弦值. 【详解】以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 平面的一个法向量， 设平面的法向量为， ， 则有 令，则，所以. 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 14. 已知数列是公差为1的等差数列，若存在互不相同的五项成等比数列，则的最小项数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】设出这五项分别为，，由于，，故，当时，设（，且互素），则必须为的倍数，求出的最小值为15，故的最小项数为16，当时，同理可得的最小项数为9，从而得到答案 【详解】显然，设这五项分别为，其中， 则，故， 由于，，故， 若，设（，且互素）， 要使都是整数，则必须为的倍数， 设，则， 同理可得， ， 此时， 显然当时，取得最小值， 最小值为， 故最小项数为16； 若，设（，且互素）， 要使都是整数，则必须为的倍数， 设，则， 同理可得， ， 由于且，故当时， 均取得最小值， 此时，，，解得， 则， 令，故等差数列通项公式为， 令，解得， 综上，的最小项数为9 四、解答题（本题共5个小题，共77分．请将每小题的解答过程写在答题卡上对应的位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，D为边上一点，且平分，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）由三角形面积公式及等面积法即可求解． 【小问1详解】 由得，， 所以， 所以， 由于，因此， 所以，又，故． 【小问2详解】 ，时，由于，故， 设，则有， 所以， 代入得：，解得． 16. 已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． （1）求抛物线及切线的方程； （2）过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解出可得抛物线的方程，联立后利用可求得切线的方程； （2）求出直线的方程为，设，，将与的方程联立，利用韦达定理及即可求解． 【小问1详解】 将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． 【小问2详解】 由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积． 17. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，其中，，点N，M分别是，靠近P，D的三等分点． （1）求证：； （2）若平面与交于Q，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明：如图所示； 由于平面，平面得， 又，，，平面，因此平面，又平面，因此． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，然后证明平面，最后证明. （2）方法一：先求出点的位置，将四棱锥拆分为两个小三棱锥得，然后通过换底的方法求出两三棱锥的体积；方法二：通过补图的方法找到点的位置，然后做法同方法一. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 方法一：建立如图所示空间直角坐标系； 由题可得点，点，点，点，点的坐标分别为，，，，， ，， 设点的坐标为，，， ，点的坐标为，因此， 因为C，N，M，Q共面，因此， 即，解得，因此，即Q为中点． ， . ， . ． 方法二（作图法）：（提示）以三条相互垂直的线段，，补全长方体，如图所示； 图中与平行且相等，取点为的中点，点为的中点，， 又，且与全等，点为的中点，剩下做法和方法一一样. 18. 某超市进行促销活动发放购物券，在一个不透明的袋子中放了8个小球，其中3个红球，3个黄球，2个绿球；已知一个红球代表10元代金券，一个黄球代表20元代金券，一个绿球代表30元代金券．对每一位顾客，有两种方案可以选择： 方案一：一次性抽出3个球，计算代金券总和； 方案二：依次不放回地每次抽出1个小球，直到抽出一个绿球即停止，计算已经抽出的球的代金券总和． （1）若某顾客选择方案一，求恰好代金券总和为60元的概率； （2）若某顾客选择方案二，求在至少获得100元代金券的条件下，抽出的球的个数为6的概率； （3）计算两种方案获得代金券总和的期望，并依据计算结果回答顾客应该选择哪种方案． 参考公式：期望的线性可加性，对任意随机变量X，Y，有． 【答案】（1） （2） （3）方案一获得代金券总和的期望为56.25；方案二获得代金券总和的期望为60；应选择方案二 【解析】 【分析】（1）根据题意，代金券总和为60元共2种情况，根据古典概型概率公式求解即可； （2）设至少获得100元代金券为事件A，抽出6个球为事件，根据题意得出的概率，结合条件概率公式即可求解； （3）方法一：设方案一的代金券总和为随机变量，抽出红、黄、绿球个数分别为随机变量，，，则，，均服从超几何分布，根据期望的线性可加性求解；方法二：设方案一的代金券总和为随机变量，则可能取值为30，40，50，60，70，80； 设方案二的代金券总和为随机变量，则可能取值为30，40，50，60，70，80，90，100，110，120；分别求解分布列和数学期望，比较即可得出结论． 【小问1详解】 代金券总和为60元共2种情况：或， 因此． 【小问2详解】 设至少获得100元代金券为事件A，抽出6个球为事件， 由于最后一个一定是绿球（30元代金券），因此红球与黄球需抽出至少70元， 可以是：1红3黄，2红3黄，3红2黄，3红3黄，设其分别为事件，，，， 则，， ，， ，， 因此， ，故． 【小问3详解】 方法一：期望的线性可加性 设方案一的代金券总和为随机变量，抽出红、黄、绿球个数分别为随机变量，，， 则，，均服从超几何分布，因此，，， 因此， 设方案二的代金券总和为随机变量，抽出红、黄、绿球个数分别为随机变量，，， 显然， 对于红球、黄球，我们仅考虑每一个球与两个绿球的相对位置，只有当它出现在两个绿球前面时才能被取出，因此每个球被取出概率的均为， 因此，， 因此， 由于，因此应选择方案二． 方法二：直接列分布列 设方案一的代金券总和为随机变量，则可能取值为30，40，50，60，70，80， 其中，30为3红，40为2红1黄，50为1红2黄或2红1绿，60为1红1黄1绿或3黄，70为1红2绿或2黄1绿，80为1黄2绿． 因此， ， ， ， ， ， 可列出分布列为： 30 40 50 60 70 80 P 因此 ， 设方案二的代金券总和为随机变量，则可能取值为30，40，50，60，70，80，90，100，110，120， 由于一定会抽出1个绿球，因此只需考虑在此之前抽出的红球黄球数目即可， 其中，30为未抽出红黄球，40为1红，50为2红或1黄，60为3红或1红1黄，70为2红1黄或2黄，80为3红1黄或1红2黄，90为2红2黄或3黄，100为3红2黄或1红3黄，110为2红3黄，120为3红3黄． 因此， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 可列出分布列为： 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 P 由于，因此应选择方案二． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在时恒成立，求k的取值范围； （3）若在时恒成立，求k的最大值． 【答案】（1）时在R上单调递增，时在上单调递减，在上单调递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，讨论参数，然后根据参数在不同范围内的情况判断函数的单调性. （2）由恒成立问题可知，，结合（1）中单调性判断. （3）将整理得，结合（1）中结论对进行讨论， 再结合恒成立问题求k的最大值. 【小问1详解】 ， ①时，，在R上单调递增； ②时，当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，时在R上单调递增，时在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 易知，由（1）易得当时或即时，在上单调递增 此时，成立； 当 即时，在上单调递减，因此，矛盾． 综上所述，k的取值范围为． 【小问3详解】 即， 即即，即， 由（1）得时在上单调递减，在上单调递增，此时，即， 因此有， ①当即时，成立； ②当，有，此时若即可证明矛盾， 若则有，令，则有，， 因此在上存在使， 此时， 即与矛盾， 综上，，即k的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级10月阶段训练 数学试卷 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将答题卡上此题对应选项的标号涂黑） 1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 复数在复平面所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 10 B. 30 C. 50 D. 70 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁等四位志愿者分配到A，B，C三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲、乙不能被分配到同一个场馆，则不同分配方案的种数是（ ） A. 24 B. 30 C. 33 D. 36 7. 若函数最小正周期为，且在有个零点，则在零点个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目的要求，请将答题卡上此题对应的上述选项的标号都涂黑） 9. 若正数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是9 D. 的最小值是5 10. 函数（，，）图象如图所示，如下判断正确的是（ ） A. B. C. 是的一个零点 D. 的对称轴为， 11. 对于连续可导函数，定义：若函数在区间上满足单调递增，则称在区间上为下凸函数；若函数在区间上满足单调递减，则称在区间上为上凸函数；若在左右上凸下凸相异，称为的拐点，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在R上为下凸函数 B. 函数不存在拐点 C. 若函数不存在拐点，则的取值范围为 D. 设函数的横坐标最小的拐点为，横坐标第二小的拐点为，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．请将每小题的正确答案填写在答题卡上对应的位置） 12. 圆C：在原点处的切线方程为__________． 13. 如图，在长方体中，，，，点E，F分别在，上，且，，则平面与平面夹角的余弦值为__________． 14. 已知数列是公差为1的等差数列，若存在互不相同的五项成等比数列，则的最小项数是__________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．请将每小题的解答过程写在答题卡上对应的位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，D为边上一点，且平分，求的长． 16. 已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． （1）求抛物线及切线的方程； （2）过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 17. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，其中，，点N，M分别是，靠近P，D的三等分点． （1）求证：； （2）若平面与交于Q，求四棱锥的体积． 18. 某超市进行促销活动发放购物券，在一个不透明的袋子中放了8个小球，其中3个红球，3个黄球，2个绿球；已知一个红球代表10元代金券，一个黄球代表20元代金券，一个绿球代表30元代金券．对每一位顾客，有两种方案可以选择： 方案一：一次性抽出3个球，计算代金券总和； 方案二：依次不放回地每次抽出1个小球，直到抽出一个绿球即停止，计算已经抽出的球的代金券总和． （1）若某顾客选择方案一，求恰好代金券总和为60元的概率； （2）若某顾客选择方案二，求在至少获得100元代金券的条件下，抽出的球的个数为6的概率； （3）计算两种方案获得代金券总和的期望，并依据计算结果回答顾客应该选择哪种方案． 参考公式：期望的线性可加性，对任意随机变量X，Y，有． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在时恒成立，求k的取值范围； （3）若在时恒成立，求k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $