2023年中考数学备考专题讲义 ：二次函数与三角形面积最值问题

二次函数与三角形面积最值问题（主讲铅锤定理运用） 知识提炼： 解决动点产生三角形面积最值问题 ，常用方法如下： ①如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． ②如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法。 图1 图2 图3 ③像图2和图3这种不规则的三角形，还可以通过铅锤定理求解三角形面积（二次函数常用该定理解决） 定理：三角形面积=水平宽×铅锤高÷2 步骤1，过三点分别作X轴垂线，得到水平宽 步骤2，取任意两垂点作为水平宽，那么过第三点的垂线段与对边的交点的线段为对应铅锤高 如下图：当EF为水平宽时，那么BG为铅锤高 当EB为水平宽时，那么CK为铅锤高 当BF为水平宽时，那么AJ为铅锤高 当EF为水平宽时 铅锤定理证明： = 当BF为水平宽时 铅锤定理证明： = 当BE为水平宽时 铅锤定理证明： = = = 【例题1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，3)． (1)求抛物线的解析式与直线l的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； 【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可． (2)如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P(m，﹣m2+m+3)，则K(m，m+1)．因为S△PAD＝•(xD﹣xA)•PK＝3PK，所以PK的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PK的最大值即可． (3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T(﹣5，6)，设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，作点T关于AD的对称点T′(1，﹣6)，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题． 【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x+2)(x﹣6)， ∵D(4，3)在抛物线上， ∴3＝a(4+2)×(4﹣6)， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣(x+2)(x﹣6)＝﹣x2+x+3， ∵直线l经过A(﹣2，0)、D(4，3)， 设直线l的解析式为y＝kx+m(k≠0)， 则， 解得，， ∴直线l的解析式为y＝x+1； (2)如图中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P(m，﹣m2+m+3)，则K(m，m+1)． ∵S△PAD＝•(xD﹣xA)•PK＝3PK， ∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大， ∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣(m﹣1)2+， ∵﹣＜0， ∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P(1，)． 【例题2】如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积； （3）是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A（，）、B（4，6）代入抛物线y＝ax2+bx+6中列方程组解出即可； （2）利用配方法计算抛物线顶点C的坐标，计算PC的长，根据三角形面积公式可得结论； （3）设P（m，m＝2），表示点C的坐标，计算PC的长，同理根据（2）中△BCE的面积公式可得结论． 【解析】（1）把A（，）、B（4，6）代入抛物线y＝ax2+bx+6中得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6； （2）如图1， ∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2， ∴顶点C（2，﹣2）， 当x＝2时，y＝2+2＝4， ∴PC＝4﹣（﹣2）＝6， 当y＝0时，x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∴E（﹣2，0）， ∴△BCE的面积 ＝PC•（xB﹣xE） ＝×6×（4+2） ＝18； （3）存在， 设点P的坐标为（m，m+2），则C（m，2m2﹣8m+6）， ∴PC＝m+2﹣（2m2﹣8