1.5 全称量词与存在量词（4大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 重点：全称量词和存在量词的意义；使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定。 难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假，正确地写出含有一个全称连词命题和存在量词命题的否定。 一、全称量词与全称量词命题 1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题 （1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 二、存在量词与存在量词命题 1、全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题 （1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 （2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题 三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。 四、命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】（2022秋·福建莆田·高一校考阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（ ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数，使得是质数 D．， 【变式1-1】（2022秋·四川乐山·高一校考阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数 【变式1-2】（2022·高一单元测试）下列命题中，存在量词命题的个数是（ ） ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形； ③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（2022秋·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）（多选）下列说法中正确的有（ ） A．命题“，”是存在量词命题 B．命题“”是全称量词命题 C．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题 D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假 【例2】（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（ ） A．，使 B．， C．， D．，使 【变式2-1】（2022秋·河北石家庄·高一河北新乐市第一中学校考期中）（多选）设集合是非空集合的非空真子集，则下列命题正确的是（ ） A．，有 B．，使得 C．，使得