专题1盘点求圆锥曲线标准方程的不同条件

专题1 盘点求圆锥曲线标准方程的不同条件 核心观点 求椭圆或者双曲线的标准方程就是要求出a、b、c三个未知数的值，需要三个独立的方程。由椭圆和双曲线本身的性质知，故只需要题目再提供两个方程即可。 典例讲解 1、 直接给出a、b、c的值或者等量关系 通过相关概念或者第一定义或者在表达式中直接给出a、b、c的值，所以必须熟知以下： 焦点、顶点、长轴长、短轴长、实轴长、虚轴长； 离心率、渐近线方程；第一定义； 1. 已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．求椭圆的方程和离心率； 2. 已知椭圆C：的短轴长和焦距相等，长轴长是．求椭圆C的标准方程； 3. 已知双曲线的焦距为4，虚轴长为2，左右焦点分别为和. 求双曲线的方程及其离心率； 4. 已知双曲线的一条渐近线与直线互相垂直． 求双曲线的方程； 5. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，求双曲线的方程； 2、 待定系数法 通过给出曲线经过某些定点提供方程，直接代入定点坐标即可； 6. 已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.求椭圆的方程； 7. 已知椭圆：，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，求椭圆的方程； 8. 已知双曲线，中恰有三点在C上．求C的方程； 3、 点到直线距离 点或者直线包含a、b、c，利用点到直线距离公式给出方程； 例如：双曲线焦点到渐近线的距离；焦点到准线的距离； 9. 椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.求的方程； 10. 已知分别是椭圆的上顶点､右顶点，左､右焦点分别为，到直线的距离为，且到直线的距离与到直线的距离之比为.求椭圆的标准方程； 11. 已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．求双曲线的标准方程； 12. 已知双曲线的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线的距离之积为．求双曲线的标准方程； 4、 比较好算的弦长 正常情况下，弦长如果出现在第一问时，都比较好算。有些特殊的弦长可以记下来，如通径； 13. 已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1。求椭圆的方程； 14. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的2倍，直线被椭圆截得的弦长为4．求椭圆的方程； 15. 已知椭圆的离心率为，且直线截椭圆所得的弦长为. 求椭圆的标准方程； 16. 已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为．求椭圆的方程； 5、 三角形相关 利用特殊三角形的几何性质，焦点三角形的常见性质，甚至是解三角形的手法来处理题目中的已知条件。 17. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线，与双曲线C交于点M，N，且三角形为等边三角形，双曲线C与x轴两交点间距离为2．求双曲线C的方程； 18. 已知椭圆：（）的左右焦点为，，上、下端点为，.若从，，，中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.求椭圆的方程； 19. 已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，过点作直线与一条渐近线垂直，垂足为，与另一条渐近线相交于点，且都在轴右侧，。求双曲线的方程； 6、 最值相关 需熟知圆锥曲线中常见的取值范围，对一般性问题可以通过“设而不求”来解决。 20. 在平面直角坐标系中，椭圆的上焦点为F，且C上的点到点的距离的最大值与最小值的差为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为1.求的方程； 21. 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，的最大值为，且点到右焦点距离的最大值为．求椭圆的方程； 22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，求椭圆C的方程； 23. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，椭圆上任意一点，满足的最小值为，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3。求椭圆的方程； 针对练习 1. 已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线的倾斜角为，且．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．求椭圆E的方程； 2. 已知椭圆，若下列四点_________中恰有三点在椭圆C上. ①；②. 从①②中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C的标准方程； 3. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.求椭圆的标准方程； 4. 已知椭圆的上顶点为A，右顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，的面积为2．求椭圆C的方程； 5. 双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为.求双曲线C的方程； 6. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，且直线：被椭圆截得的弦长为．求椭圆的标准方程； 7. 已知椭圆，、两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，是椭圆的右焦点，，直线与椭圆相切与