2023年中考备考数学压轴题培优训练讲义 -正方形存在性问题

二次函数与正方形存在性问题训练 知识提炼: 主要方法:公式法和全等法求解 公式法判别依据: 平行四边形+对角线相等+邻边相等 当AC作为对角线时的正方形公式 其中①②式为判别平行四边形依据,③式为对角线相等,④式为邻边相等,从而判别为正方形。 解题方法: 1公式法(在平行四边形的基础上增加对角线垂直且相等) (1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论; (2)利用中点坐标公式列方程:; (3)对角线垂直:, 2,全等法列等量关系 构造K型或者三垂直模型三角型全等列等量关系: (K型结构)Rt△ACB和Rt△BEF全等,则AC=BF,BC=BE. 三垂直结构 Rt△ACD和Rt△BEC全等,则AD=CE,CD=BE 【例题】如图,在平面直角坐标系.xOy中,直线y=x﹣4与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(﹣2,0). (1)求抛物线解析式; (2)如图1,点F是直线AB下方抛物线上一动点,连接FA,FB,求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标. (3)如图2,在(2)问的条件下,点Q为平面内y轴右侧的一点,是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A,F,Q,M为顶点的四边形是正方形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【解答】解:(1)∵直线y=x﹣4与x轴交于点A,与y轴交于点B, ∴点A(4,0),点B(0,﹣4), ∵抛物线交x轴于点A(4,0),点C(﹣2,0). 设抛物线解析式为:y=a(x+2)(x﹣4)=ax2﹣2ax﹣8a, ∵抛物线交y轴于点B(0,﹣4), ∴﹣4=﹣8a, ∴a=, ∴抛物线解析式为:y=x2﹣2×x﹣8×=x2﹣x﹣4; (2)如图,过点F作FE∥y轴,交AB于点E, 设点P的横坐标为t,则P(t,t2﹣t﹣4), ∵直线AB的解析式为y=x﹣4, ∴E(t,t﹣4), ∴S△BFA=OA•EF=×(4﹣0)×(t﹣4﹣t2+t+4) =﹣t2+4t, ∵S△BOA=OA•OB=×4×4=8, ∴S四边形FAOB=S△BFA+S△BOA=﹣t2+4t+8=﹣(t﹣2)2+12, ∴当t=2时,S四边形FAOB有最大值12,t2﹣t﹣4=﹣4. ∴此时点F的坐标为(2,﹣4); (3)①当AF为为边时,如图,过点F作FS⊥x轴于点S,过点作Q1T⊥x轴于点T, ∵点A(4,0),点F的坐标为(2,﹣4), ∴AF==2,SF=4,AS=4﹣2=2, ∵四边形AQ1Q2F是正方形, ∴AQ1=AF=2,∠FAQ1=90°, ∵∠SFA+∠SAF=90°,∠SAF+∠TAQ1=90°, ∴∠SFA=∠TAQ1, ∵∠FSA=∠ATQ1=90°, ∴△FSA≌△ATQ1, ∴AT=SF=4,TQ1=AS=2, ∴OT=OA+AT=8, ∴Q1(8,﹣2); 同理可得:△Q1HQ2≌△ATQ1, ∴Q1H=AT=4,Q2H=TQ1=2, ∴OK=OT﹣KT=8﹣2=6,Q2K=HT=4+2=6, ∴Q2(6,﹣6); 四边形AFED是正方形时,点D在y轴上,点E在y轴左边,不合题意; ②连接AE,FD交于点Q3,连接AQ2、FQ1交于点Q4,此时,AF为对角线,四边形AQ3FQ4是正方形,如图: ∵Q4是FQ1的中点,Q1(8,﹣2),F(2,﹣4), ∵=5,=﹣3, ∴Q4(5,﹣3); ∵Q3是FD的中点,D(0,2),F(2,﹣4), ∵=1,=﹣1, ∴Q3(1,﹣1). ∴存在,点Q的坐标Q1(8,﹣2),Q2(6,﹣6),Q3(1,﹣1),Q4(5,﹣3). 训练提升 1综合与探究 如图,某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A(﹣1,0),B(4,5). (1)求抛物线的解析式; (2)点C为抛物线对称轴上一动点,当AC与BC的和最小时,点C的坐标为 (1,2) ; (3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点,过点D作DE⊥x轴,交线段AB于点E,求线段DE长度的最大值; (4)在(2)条件下,点M为y轴上一点,点F为直线AB上一点,点N为平面直角坐标系内一点,若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形,请直接写出点N的坐标. 2如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象交y轴于点D,直线AB与之相交,且A(1,﹣)是抛物线y=x2+bx+c的顶点. (1)b= ﹣1 ,c= ﹣4 ; (2)如图1,点P是第四象限抛物线上一点,且满足BP∥AD,抛物线交x轴于点C,连接PC. ①求直线PB的解析式; ②求PC的长; (3)如图2,点Q是抛物线第三象限上一点(不与点B、D重合),连接BQ,以BQ为边作正方形BEFQ,当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时,直接写出对应的Q点的坐标.