期中讲义02 几何模型辅助线、全等压轴大题突破（7大考点专练）2026-2027学年人教版八年级数学上册秋期复习 + 期考讲义专项

期中讲义02 几何模型辅助线、全等压轴大题突破（7大考点专练） 【考点一】倍长中线法构造全等 【考点五】角平分线相关问题 【考点二】添加辅助线构造全等三角形 【考点六】翻折（对称）构造全等 【考点三】旋转模型（手拉手模型） 【考点七】动态探究与多结论问题 【考点四】一线三等角模型 知识点一 全等三角形的概念与性质 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。记作“△ABC≌△DEF”，对应顶点写在对应位置上。 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；对应边上的中线、对应角平分线、对应高分别相等；周长相等、面积相等。 易错提醒：找对应元素时，长边对长边、短边对短边，大角对大角、小角对小角；书写“≌”时务必把对应顶点按对应关系排列，这是后续证明与计算的基础。 知识点二 三角形全等的判定方法 五种判定方法可归结为“三边、两边一角、两角一边”三类基本条件，另有直角三角形专用的斜边直角边判定。列表如下： 判定方法 判定依据 适用图形条件 关键提醒 SSS 三边分别相等 已知三边 找全三组对应相等边 SAS 两边及夹角分别相等 已知两边及夹角 角必须是两边的夹角 ASA 两角及夹边分别相等 已知两角及夹边 边是两角的夹边 AAS 两角及其中一角的对边分别相等 已知两角及任意一边 边是某角的对边 HL 斜边和一条直角边分别相等 直角三角形 只在直角三角形中使用 注意：两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定两个三角形全等；三个角对应相等（AAA）只能说明相似，不能判定全等。 知识点三 角的平分线的性质与判定 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。符号语言：若OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD＝PE。 判定：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。符号语言：若PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，则点P在∠AOB的平分线上。 应用要点：见到角平分线，常作角两边的垂线段，利用性质把“点到边的距离”转化为等量关系；或利用判定证明某点在角平分线上，进而得到角相等。 知识点四 常见辅助线方法总览 辅助线方法 典型适用条件 构造目的与结论 倍长中线法 出现三角形的中线或需证中点 把中线加倍，构造“8字型”全等，转移线段与角，得出2倍关系 截长补短法 需证线段 a＝b＋c 的和差关系 长线段截取或短线段延长，转化为证两组线段相等 作平行线法 需转移线段或构造等角 过某点作平行线，产生内错角、同位角，构造全等 角平分线辅助线 出现角平分线 作垂线用性质／判定，或截取等长构造全等 旋转构造全等 共顶点、有相等线段（正方形、等腰Rt等） 绕公共点旋转后重叠，证一组全等转化线段 【考点一】倍长中线法构造全等 1．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键. 如图，延长至 使再证明可得 再利用三角形的三边关系可得：从而可得答案. 【详解】解：如图，延长至 使 为的中线， 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在中，，中线，则边的取值范围是________． 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 延长至，使，连接，则，证明和全等得，在中，根据三角形三边之间得，由此即可得出边的取值范围． 【详解】延长至，使，连接，如图所示： ， ， ， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， 在中，根据三角形三边之间得：， ，， ， ， 即， ∴边的取值范围是：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 【答案】 / 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、确定第三边的取值范围 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，证明是关键． ①利用证明即可； ②根据三角形三边关系得到，由得到答案． 【详解】解：①是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ②∵， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 4．（26-27八年级上·山东临沂·期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是（     ） A．      B．      C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ． 【解后反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，，分别为中边上的中线与高，且，，求的面积； (3)拓展延伸：如图，在（2）的条件下，延长交于点，请直接写出的长度． 【答案】(1)①A；② (2) (3) 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、确定第三边的取值范围 【分析】（1）根据已知条件即可判断；根据三角形的三边关系即可求得； （2）如小问2详解图，延长中线到，使，先证出，再证出，然后根据，可得，进而求得答案； （3）如小问3详解图，分别过点作，由已知条件证出，再证出，最后可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ． （2） 解：如图，延长中线到，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∵， ， ， ， ． （3） 解：分别过点作， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 5．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是 ． （2）边上的中线的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 【答案】【问题情境】（1）；（2）； 【初步运用】证明：延长到H，使，连接，如图2所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据等角对等边证明边相等、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，等腰三角形的判定，倍长中线得到三角形全等是解题的关键． 【问题情境】（1）由作图及已知得，即可得到全等的依据； （2）由（1）及三角形三边关系即可求解； 【初步运用】延长到H，使，连接，证明，则有，结合已知得，即可证明结论成立． 【详解】解：（1）由作图知； ∵边上的中线为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：中，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， 即， ∴， ∴边上的中线的取值范围是：， 故答案为：； 【初步运用】略 7．（25-26八年级上·福建南平·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 【答案】（1）， （2）， （3） 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据等角对等边证明边相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、确定第三边的取值范围 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）由（1）知，得到，根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质结合等腰三角形的性质可知，即可得出答案． 【详解】解：（1）点是的中点， ， 在和中， ， （依据）， 故答案为：，； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ， 故答案为：，； （3）延长到，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 【考点二】添加辅助线构造全等三角形 8．（24-25八年级上·吉林松原·期中）教材中有如下一段文字：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出，固定住长木棍，转动短木棍，得到．如图中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等． (1)思考：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形_____．（填“一定全等”或“不一定全等”） (2)小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法_____．（填“正确”或“不正确”） 请帮助小明完成证明过程： 如图，和中，，， ，，，作于， 于．，， 在和中， 　　， 　　， 　　， ，， 在和中， 　　， 　　， ， ， 在和中，， ．（当和是锐角三角形时，证明方法类似）． 【答案】(1)不一定全等 (2)正确，，，；，． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）结合图形判断即可； （2）作于点于点．构造全等三角形，创造条件，即可解决问题． 【详解】（1）观察图象可知，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：不一定全等； （2）结论：小明的说法正确． 理由：和中，，， ，，， 作于点，于点． ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， （当和是锐角三角形时，证明方法类似）．． 故答案为：正确，，，；，． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，具体的关键性学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．（24-25八年级·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 10．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合探究 问题情境：是等边三角形，点D是上一点，点E在的延长线上，且，连接． 猜想证明： (1)如图1，当点D是的中点时， ________；（填“>”，“<”或“=”） (2)若点D为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作，交于点F．（请完成余下的证明过程） 【答案】(1)= (2) 证明：如图2，过点D作，交于点F． ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． （1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明； （2）如图2，过点D作，交于点F．证明是等边三角形，可得，证明，可得结论， 【详解】（1）证明：在等边中，， ， 点是的中点， 平分， ， ， ， ， ； （2）略 11．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 【考点三】旋转模型（手拉手模型） 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 【答案】 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键． 13．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【答案】(1) 证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴， ∴； (2) 证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； (3) 解：作图正确（如图所示） 猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角板中角度计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答； （2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解； （3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质． 14．（24-25八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）； （2）； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3） 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）略 （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 15．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 16．（24-25八年级·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】 （1）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵， ∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=50°， ∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADH， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵ ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH， ∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF， ∴EF=DH+DF=BE+DF；（3）85海里 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可证得△AEF≌△AGF， 从而得到EF=FG，即可求解； （2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解； （3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB， ∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45， ∴CD=40+45=85海里． 即此时两舰艇之间的距离85海里． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用． 17．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在Rt△ABC中，，，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． (1)操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为______；线段BD、AB、EB的数量关系为______； (2)猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； (3)拓展延伸 若，，请你直接写出△ADE的面积． 【答案】(1)AB⊥BE，AB=BD+BE； (2) 如图2中，结论：BE=AB+BD． 理由：连接AE，DE， ∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∵AD=AB+BD，AD=BE，∴BE=AB+BD．②如图3中，结论：BD=AB+BE． 理由：连接AE，DE， ∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∵BD=AB+AD，AD=BE，∴BD=AB+BE． (3)72或8． 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS）利用全等三角形的性质可得结论；（2）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质证明即可；（3）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质以及三角形的面积解决问题即可． 【详解】（1）如图1中， ∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CBE=∠A，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABE=90°，∴AB⊥BE，∵AB=AD+BD，AD=BE，∴AB=BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB=BD+BE． （2）略 （3）如图2中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD+AB=8+4=12，∵BE⊥AD，∴S△ADE=•AD•EB=×12×12=72．如图3中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD-AB=8-4=4，∵BE⊥AD，∴S△ADE=•AD•EB=×4×4=8． 【点睛】本题属于几何变换—旋转综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【考点四】一线三等角模型 18．（2025八年级上·全国·期中）如图，在中，，在平面直角坐标系中，，求点C的坐标． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 过点作轴于点，证明，得到进而可求点C的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 则． ， 在和中， ． ， ， 点的坐标是． 19．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 20．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于，，直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，，若线段上存在一点P，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为___________．    【答案】 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—垂直模型．熟记模型构成的条件、结论是解题关键．过点作交l2于点，过点作轴，证即可求解． 【详解】解：过点作交l2于点，过点作轴，如图所示：    由题意得：，， ∵是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴P点坐标为， 故答案为： 21．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）50； （3） 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）略 （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明： ． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】略 23．（24-25八年级上·福建福州·期中） 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，，C在第一象限，且，，连接． (1)当时，的面积为 (2)求点C的坐标，（用含的式子表示） (3)利用备用图，作的平分线，点M在射线上，N在边上，当的值最小时，确定此时M，N的位置，并求出当时，的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、求点到坐标轴的距离、等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）先根据，得是等腰直角三角形，，过C作轴于E，则，，证明，得到，，最后根据代入计算即可； （2）先过C作轴于E，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，即可得出，，，据此即可得出点C的坐标； （3）作C关于的对称点，此时，过作，交于点M，此时最小，M，N就是所确定的位置，再根据平分得到落在射线上，且，，即可证明，得到，过C作轴于F，当时，C的坐标为，则，，根据，得到，最后求出的最小值是． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过C作轴于E，则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4； （2）解：如图，过C作轴于E，则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 又∵点，点， ∴，， ∴， ∴C的坐标为； （3）解： 如备用图，作C关于的对称点，此时，过作，交于点M，此时最小，M，N就是所确定的位置， ∵平分， ∴射线与射线关于对称. ∵点C与关于对称， ∴落在射线上，且，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 过C作轴于F， 当时，C的坐标为，则，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴的最小值是． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，根据垂线段最短，确定出点M、N的位置是解题的关键． 24．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【数学建模】 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中， ，，直线经过点，直线、直线，垂足分别为点． （1）请直接写出，和之间的关系_____． 【变式探究】 （2）小丽认为当不是直角三角形时，上述结论仍然成立。如图，在中，，，，三点都在直线上，并且有，可得．你同意小丽的说法吗?请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，和均为等边三角形，点，，是同一直线上不重合的三点，，请说明为等腰三角形． 【答案】（1）； （2）解：小丽的说法正确，理由如下： 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：由（2）可得，， 和为等边三角形， ，． ，即． 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知条件可证明，可得，，即可求解； （2）根据已知条件可证明，也可得，，即可求解； （3）根据等边三角形的性质，可得，，再根据（2）得，即可证明，由全等三角形的性质可知，即可说明结论． 【详解】（1），和之间的关系为：； ， ， 直线、直线， ，， ， 在和中： ， ， ，， ， 故答案为： （2）略 （3）略 25．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点C在线段上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又， ， ， ； (2) 解：，，理由： 如图，连接， ， ， ． ∵，点是的中点， ，，， ， 又， ， ，， ， ， ∴； (3) 证明：∵，， 是等腰直角三角形， ． ， ， 又，， ， ， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，可证得结论成立； （2）由“”可证，可得，，再证明即可； （3）由“”可证，可得，可求，可证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 26．（24-25八年级·吉林长春·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【答案】模型认知：；模型运用：16； 拓展提升∶ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三直角模型是解答本题的关键． 模型认知：根据证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F，由，且点E为中点得，，证明得，然后根据三角形面积公式求解即可； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，同模型认知证明：，得出，，可求出，证明得，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】模型认知：进而得到结论：． 故答案为：； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F， ∵， ∵于点E， 且点E为中点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，如图所示： 同模型认知证明：， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【考点五】角平分线相关问题 27．（26-27八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)∵是的平分线，（即），． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)2 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）的突破口为角平分线的性质，因为是角平分线且，所以可得，再结合，通过定理证明和全等，即可得． （2）的突破口是先证明和全等，因为为公共边，，且两个三角形均为直角三角形，所以用可证全等，得到．先根据的长度计算的长度，结合（1）中的结论，即可求出的长． 【详解】（1）略． （2）在和中： ， ∴， ∴． 设， 由（1）的结论， ∴ 代入， 得， 解得． 即的长为2． 28．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画射线交于，则是的平分线，说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴． ∵点O与点重合， ∴， ∴是的平分线； (2) 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先证明，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）过点P作，交于点H．由角平分线的性质得到，再由计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点P作，交于点H． ∵是的平分线，，，， ∴． ∵，， ∴． 29．（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； (2) ①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②15 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 30．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． (2)为等边三角形， 理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． (3) 证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的高相等， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 【知识点】角平分线性质的实际应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． （3）过点分别作于点，于点，由全等三角形对应边上的高相等得，根据角平分线的性质证明平分． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 31．（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，理由如下： ① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． (3) 【知识点】对顶角相等、角平分线性质的实际应用、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：略； （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 【考点六】翻折（对称）构造全等 32．（24-25八年级·广东河源·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①； ②如图：在上截取．连接， 是的角平分线， ， 又， ． ， 又， ； ； （3），理由如下： ， 是的两条角平分线，且交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）直接利用证明即可得出； （2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可； ②在上截取．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：根据作图可得，又， ， ， 即； 故答案为：； （2）①如图：过点作，垂足为点， 和的平分线交于点， ，即， ； ②略 （3）略 33．（24-25八年级·陕西咸阳·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 【知识点】角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①略 ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3）略 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 34．（24-25八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）； （2）方法一：；方法二：； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ．    【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据三角形的性质：大边对大角即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； （2）①∵ ∴大于； 故答案为； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点 即 即点到的距离是 故答案为； （3）略 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、性质定理以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 35．（26-27八年级上·湖北·期中）综合实践： (1)如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在中，如果，则___________（填写“”“”或“”）； ②验证：可以通过作___________图形，构造___________，将不等关系转化为___________关系，运用角的性质来进行证明．（填写正确答案的选项即可） A．全等三角形； B．对称； C．等腰三角形； D．相等； E．从特殊到一般． (2)如图2，在中，，平分交于点，连接．判断与的大小关系，并证明； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，若，请求出的值，并写出解答过程． 【答案】(1)①；②B，C，D (2)解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，则， ∵平分， 在和中， ， ； (3)解：如图，在上截取，连接，作于点于点， ∵的角平分线交于点， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵，于点于点， ， ， ∴的值为． 【知识点】角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）① 根据题意，进行猜测结果； ② 根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理进行验证即可； （2）延长到点，使，连接，则，根据三角形的三边关系得出，证明，得出对应边相等，然后等量代换即可； （3）在上截取，连接，根据三角形的内角和定理及角平分线的性质得出，证明，得出对应边和对应角相等，根据三角形边和面积的关系得出，作于点于点，根据角平分线的性质定理得出，然后根据三角形面积和边的关系即可求解． 【详解】（1）解：① 如图，作的角平分线交于点，作与关于所在直线对称，点的对应点是， ∵平分，， ∴与关于所在直线对称， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故有如果，则； ②由①的求解思路可知可以通过作对称图形，构造等腰三角形，将不等关系转化为相等关系，运用角的性质来进行证明． 故答案为：B，C，D； （2）略 （3）略 36．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图1，AD是的角平分线，，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ②由，AD平分，AD是公共边，可得（理由：____________），则，． ③由，则． 又因为，所以，则__________ 又由，得． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为__________________． (1)请你补全小明的解题思路． (2)参考小明的方法，解决下面的问题： 如图3，中，，，BD平分，求证：． 【答案】(1)SAS，，，证明过程见详解 (2)见详解 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）在BC上截取，连接，由题意易证，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ∵AD平分， ∴， ∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）证明：在BC上截取，连接，如图所示： ∵BD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【考点七】动态探究与多结论问题 37．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）或或 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理． （1）利用平角的定义即可求解； （2）先证明出，得出，，即可得出结果； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）当点移动到点时，，移动到点时，； 当点移动到点时，，移动到点时，； 分以下三种情况： ①当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴， 不在范围内，不符合题意； ④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 38．（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，张老师借助两个全等的含角的直角三角板进行全等三角形的相关探究． (1)问题发现 将三角板与三角板按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． ①与是否相等？_____（填“是”或“否”）； ②写出线段、、之间的数量关系：_____． (2)问题探究 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角得到图2，且，其他条件不变，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)问题拓展 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图3．请直接写出、与之间的数量关系． 【答案】(1)①是；② (2) （1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3) 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出线段相等是解题的关键． （1）①连接，证明和全等即可得出结论；②根据结合得出结论即可； （2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样； （3）同（1）得，由，可得． 【详解】（1）证明：①连接， ∵（已知）， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， 故答案为：是． ②又∵， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）解：结论：．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ∴． 39．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）略 （3）略 40．（25-26八年级上·吉林松原·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理． （1）由等腰三角形的性质得，证明，得，，进而求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，证明，得，，即可得证； （3）由三角形内角和定理证得，进而证得，得，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （3）∵，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 41．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，，垂足为点A，射线，垂足为点B． (1)如图1，若点E在线段上，点D在射线上，，请你添加一个条件：______，使得，判定全等的依据是：______； (2)在（1）的条件下，证明你的结论； (3)若点E从A点出发以的速度沿射线运动，点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当以点B、D、E组成的三角形与全等时，求t的值． 【答案】(1)，． (2) 证明：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)3或7或10． 【知识点】三角形内角和定理的证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，即可解答； （2）先证明，推导出，，得到，根据证明，即可解答； （3）分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】（1）解：添加一个条件：，使得，判定全等的依据是：． 故答案为：，(答案不唯一)． （2）略 （3）∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 答：t的值为3或7或10． 42．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 【答案】（1）； （2），理由如下： ， ， ， ， 由（1）可知： , ； （3） 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：（1）在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2） 略 （3）如图，在上取一点，使 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 且， ， ， ， ， ， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义02 几何模型辅助线、全等压轴大题突破（7大考点专练） 【考点一】倍长中线法构造全等 【考点五】角平分线相关问题 【考点二】添加辅助线构造全等三角形 【考点六】翻折（对称）构造全等 【考点三】旋转模型（手拉手模型） 【考点七】动态探究与多结论问题 【考点四】一线三等角模型 知识点一 全等三角形的概念与性质 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。记作“△ABC≌△DEF”，对应顶点写在对应位置上。 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；对应边上的中线、对应角平分线、对应高分别相等；周长相等、面积相等。 易错提醒：找对应元素时，长边对长边、短边对短边，大角对大角、小角对小角；书写“≌”时务必把对应顶点按对应关系排列，这是后续证明与计算的基础。 知识点二 三角形全等的判定方法 五种判定方法可归结为“三边、两边一角、两角一边”三类基本条件，另有直角三角形专用的斜边直角边判定。列表如下： 判定方法 判定依据 适用图形条件 关键提醒 SSS 三边分别相等 已知三边 找全三组对应相等边 SAS 两边及夹角分别相等 已知两边及夹角 角必须是两边的夹角 ASA 两角及夹边分别相等 已知两角及夹边 边是两角的夹边 AAS 两角及其中一角的对边分别相等 已知两角及任意一边 边是某角的对边 HL 斜边和一条直角边分别相等 直角三角形 只在直角三角形中使用 注意：两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定两个三角形全等；三个角对应相等（AAA）只能说明相似，不能判定全等。 知识点三 角的平分线的性质与判定 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。符号语言：若OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD＝PE。 判定：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。符号语言：若PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，则点P在∠AOB的平分线上。 应用要点：见到角平分线，常作角两边的垂线段，利用性质把“点到边的距离”转化为等量关系；或利用判定证明某点在角平分线上，进而得到角相等。 知识点四 常见辅助线方法总览 辅助线方法 典型适用条件 构造目的与结论 倍长中线法 出现三角形的中线或需证中点 把中线加倍，构造“8字型”全等，转移线段与角，得出2倍关系 截长补短法 需证线段 a＝b＋c 的和差关系 长线段截取或短线段延长，转化为证两组线段相等 作平行线法 需转移线段或构造等角 过某点作平行线，产生内错角、同位角，构造全等 角平分线辅助线 出现角平分线 作垂线用性质／判定，或截取等长构造全等 旋转构造全等 共顶点、有相等线段（正方形、等腰Rt等） 绕公共点旋转后重叠，证一组全等转化线段 【考点一】倍长中线法构造全等 1．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在中，，中线，则边的取值范围是________． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 4．（26-27八年级上·山东临沂·期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是（     ） A．      B．      C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ． 【解后反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，，分别为中边上的中线与高，且，，求的面积； (3)拓展延伸：如图，在（2）的条件下，延长交于点，请直接写出的长度． 5．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 6．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是 ． （2）边上的中线的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 7．（25-26八年级上·福建南平·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 【考点二】添加辅助线构造全等三角形 8．（24-25八年级上·吉林松原·期中）教材中有如下一段文字：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出，固定住长木棍，转动短木棍，得到．如图中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等． (1)思考：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形_____．（填“一定全等”或“不一定全等”） (2)小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法_____．（填“正确”或“不正确”） 请帮助小明完成证明过程： 如图，和中，，， ，，，作于， 于．，， 在和中， 　　， 　　， 　　， ，， 在和中， 　　， 　　， ， ， 在和中，， ．（当和是锐角三角形时，证明方法类似）． 9．（24-25八年级·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 10．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合探究 问题情境：是等边三角形，点D是上一点，点E在的延长线上，且，连接． 猜想证明： (1)如图1，当点D是的中点时， ________；（填“>”，“<”或“=”） (2)若点D为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作，交于点F．（请完成余下的证明过程） 11．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【考点三】旋转模型（手拉手模型） 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 13．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 14．（24-25八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 15．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      16．（24-25八年级·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 17．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在Rt△ABC中，，，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． (1)操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为______；线段BD、AB、EB的数量关系为______； (2)猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； (3)拓展延伸 若，，请你直接写出△ADE的面积． 【考点四】一线三等角模型 18．（2025八年级上·全国·期中）如图，在中，，在平面直角坐标系中，，求点C的坐标． 19．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于，，直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，，若线段上存在一点P，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为___________．    21．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 22．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 23．（24-25八年级上·福建福州·期中） 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，，C在第一象限，且，，连接． (1)当时，的面积为 (2)求点C的坐标，（用含的式子表示） (3)利用备用图，作的平分线，点M在射线上，N在边上，当的值最小时，确定此时M，N的位置，并求出当时，的最小值． 24．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【数学建模】 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中， ，，直线经过点，直线、直线，垂足分别为点． （1）请直接写出，和之间的关系_____． 【变式探究】 （2）小丽认为当不是直角三角形时，上述结论仍然成立。如图，在中，，，，三点都在直线上，并且有，可得．你同意小丽的说法吗?请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，和均为等边三角形，点，，是同一直线上不重合的三点，，请说明为等腰三角形． 25．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点C在线段上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：． 26．（24-25八年级·吉林长春·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【考点五】角平分线相关问题 27．（26-27八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 28．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画射线交于，则是的平分线，说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，，求的面积． 29．（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 30．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 31．（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【考点六】翻折（对称）构造全等 32．（24-25八年级·广东河源·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 33．（24-25八年级·陕西咸阳·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 34．（24-25八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    35．（26-27八年级上·湖北·期中）综合实践： (1)如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在中，如果，则___________（填写“”“”或“”）； ②验证：可以通过作___________图形，构造___________，将不等关系转化为___________关系，运用角的性质来进行证明．（填写正确答案的选项即可） A．全等三角形； B．对称； C．等腰三角形； D．相等； E．从特殊到一般． (2)如图2，在中，，平分交于点，连接．判断与的大小关系，并证明； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，若，请求出的值，并写出解答过程． 36．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图1，AD是的角平分线，，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ②由，AD平分，AD是公共边，可得（理由：____________），则，． ③由，则． 又因为，所以，则__________ 又由，得． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为__________________． (1)请你补全小明的解题思路． (2)参考小明的方法，解决下面的问题： 如图3，中，，，BD平分，求证：． 【考点七】动态探究与多结论问题 37．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 38．（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，张老师借助两个全等的含角的直角三角板进行全等三角形的相关探究． (1)问题发现 将三角板与三角板按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． ①与是否相等？_____（填“是”或“否”）； ②写出线段、、之间的数量关系：_____． (2)问题探究 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角得到图2，且，其他条件不变，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)问题拓展 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图3．请直接写出、与之间的数量关系． 39．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 40．（25-26八年级上·吉林松原·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 41．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，，垂足为点A，射线，垂足为点B． (1)如图1，若点E在线段上，点D在射线上，，请你添加一个条件：______，使得，判定全等的依据是：______； (2)在（1）的条件下，证明你的结论； (3)若点E从A点出发以的速度沿射线运动，点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当以点B、D、E组成的三角形与全等时，求t的值． 42．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $