1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 题型1空间向量的坐标表示 4 题型2空间向量的坐标运算 5 ◆类型1 加减数乘与数量积 5 ◆类型2空间向量模长问题 6 ◆类型3空间向量夹角问题 7 ◆类型4投影向量问题 8 题型3空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 9 ◆类型1空间向量平行问题 9 ◆类型2空间向量垂直问题 10 ◆类型3锐角钝角问题 11 题型4含参取值（范围）最值问题 11 知识点一.正交基底和单位正交基底 正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底 单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示 推论: 设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++. 知识点二.空间直角坐标系 1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。 其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 知识点三.空间直角坐标系中点的坐标 定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。 在空间直角坐标系O-xyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）. 知识点四.空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标运算 （1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则 ①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2） ②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2） ③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R). ④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； ⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； ⑥|a|＝＝； ⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． (2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的 坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2.空间向量平行、垂直的坐标表示 （1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R). (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 3.空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 题型1空间向量的坐标表示 【例题1】（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______． 【变式1-1】1．（2023秋·高二课时练习）三棱锥中，为直角，平面，，为的中点，为中点，以为基底，则的坐标为__________． 【变式1-1】2．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3．（2021秋·山西太原·高二太原市外国语学校校考期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为___________. 【变式1-1】4．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在中，． (1)求顶点的坐标； (2)求． 【变式1-1】5．（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标． 题型2空间向量的坐标运算 【方法总结】关于空间向