1.1.2空间向量基本定理-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.1.2空间向量基本定理 题型1对共面向量概念的理解 2 题型2向量共面的判定与证明 3 题型3空间四点共面的条件 5 ◆类型1 四点共面的判断 6 ◆类型2 四点共面的证明 7 ◆类型3 含参问题 9 题型4空间向量基底概念及辨析 10 题型5用空间基底表示向量 12 题型6空间向量基本定理及其应用 15 知识点一.共面向量 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 知识点二.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。 知识点三.空间四点共面的条件 已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面. 注意： （1） 共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量. （2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 知识点四.空间向量的基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3 基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量. 题型1对共面向量概念的理解 【方法总结】 （1）任意两个空间向量都是共面向量； （2）若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在α内或p//α. 【例题1】（多选）（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 【变式1-1】1．(多选)（2022秋·福建泉州·高二晋江市季延中学校考期中）(多选)下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充要条件 B．若，共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 【变式1-1】2．（多选）（2022秋·山西运城·高二校考阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则共面 C．若，则与共线 D．若，且，则 【变式1-1】3．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第二中学统考阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若，，，是空间任意四点，则有 B．是，共线的充要条件 C．若，共线，则 D．对空间任意一点不共线的三点，，，若（其中，，），则，，，四点共面 【变式1-1】4．下列命题中错误的是______．（填序号） ①若A、B、C、D是空间任意四点，则有； ②是、共线的充要条件； ③若、共线，则； ④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、）则P、A、B、C四点共面． 题型2向量共面的判定与证明 【方法总结】利用向量法证明向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有AP=x＋y或=x＋y＋z（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 【例题2】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-1】1.（2022秋·山东淄博·高二沂源县第一中学校考阶段练习）如图，、分别是空间四边形的边、的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”） 【变式2-1】2．（2023春·高一课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面． 【变式2-1】3．（2022·高二课时练习）在正方体中，判断下列各组向量是否共面： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】4．（2022·高二课时练习）如图，在平行六面体中，M，N，P，Q，R，S分别是各棱的中点，求证：向量，，共面． 【变式2-1】5．（2022·高二课时练习）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，. (1)用向量和表示向量； (2)向量是否与向量，共面？ 【变式2-1】6．已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由． 题型3空间四点共面的条件 ◆类型1 四点共面的判断 【例题3-1】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法