1.1.1一课时空间向量及其运算-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.1.1一课时空间向量及其运算 题型1空间向量的基本概念 3 题型2空间向量的加法、减法与数乘运算 6 ◆类型1空间向量的加法、减法与数乘运算 6 ◆类型2含参运算 8 题型3空间向量共线问题 9 ◆类型1共线的判定 9 ◆类型2已知向量共线求参数 11 知识点一．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 知识点二．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． 注意： 1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空 间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的 相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同; 3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决; 4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 知识点三.空间向量的加法、减法与数乘运算 名称 运算法则 特点 图示 加法运算 三角形法则 收尾相接收尾连（通过平移） 平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移） 减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。 数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比 知识点四.空间向量的加法和数乘的运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： （3）数乘运算律：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μv；③λ(＋)＝λ＋λ； 知识点五.共线向量及共线向量定理 1.共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa. 知识点六.空间向量的线性运算的理解 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 题型1空间向量的基本概念 【方法总结】 （1）关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. （2）注意点：注意一些特殊向量的特性. ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性. ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 【例题1】（2022春·山西·高二校联考期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式1-1】1．（2022·广东肇庆·校考模拟预测）下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 【变式1-1】2．（2022春·北京·高二校考阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．