1.1.1二课时空间向量的数量积-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.1.1二课时空间向量的数量积 题型1数量积的概念 3 题型2数量积的运算 4 题型3利用空间向量的数量积求夹角 7 题型4利用空间向量的数量积求距离(线段长度) 9 题型5投影向量 12 题型6最值与范围问题 14 知识点一.空间两个向量的夹角 1. 夹角 定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。 图示   表示 　〈a,b〉. 范围 [0,π] 2.空间两个向量的关系 （1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同; （2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 　相反; （3）若〈a,b〉=,则向量a,b　互相垂直，记作a⊥b 知识点二.空间两个向量的数量积 1. 空间向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a,b,则　|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定 零向量与任意向量的数量积为　0    2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b=     b·a     结合律 (λa)·b=⑩     λ(a·b)    ,λ∈R 分配律 a·(b+c)=     a·b+a·c   3.空间向量数量积的性质 ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ; ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|= ③若为a,b的夹角，则 ④|a·b|≤|a||b| 4.与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零. ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立. 知识点三.向量的投影 （1）向量在向量上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b （2）向量在平面上的投影向量 ①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量. ②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n 【方法总结】空间向量数量积的注意点 （1） 结果：两个向量的数量积，其结果是一个实数，而不是一个向量，它的符号取决于两向量的夹角的余弦值的符号. （2）零向量：空间向量数量积对于a，b是零向量时的情况仍然成立，即零向量与任何向量的数量积均为零. （3）运算律：数量积不满足结合律 题型1数量积的概念 【例题1】设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【变式1-1】2．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3．（多选）下列四个结论正确的有 （    ） A．对于任意两个向量，若，则或或 B．若空间中点 满足，则三点共线 C．空间中任意三个向量 都满足 D．对于任意两个向量， 都有 【变式1-1】4．（多选）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 题型2数量积的运算 【方法总结】 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定. （2）两个向量的数量积写成；今后要学到两个向量的外积x，而ab是两个数的积，书写时要严格区分. （3）在数量积中，若 ，且，不能推出（），因为其中cosθ有可能为0. （4）在实数中，有（axb）c=a（bxc），但是（）=（） 【例题2】（2023·全国·高三对口高考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】1．（河南省新乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2-1】2．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量与的向