1.2.5空间中的距离-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.5空间中的距离 题型1两点间的距离 3 题型2用向量法求点线距 4 题型3用向量法求点面距 7 题型4用向量法求线面距 10 题型5用向量法求面面距 12 题型6线线距离 15 知识点一.两点间的距离 1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）， |AB|= 2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|= 知识点二.点到直线的距离 定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d== 设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e> 知识点三.点到平面的距离 定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d= 知识点四.相互平行的直线与平面之间 1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离， 2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 知识点五.相互平行的平面与平面之间的距离 1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． 2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的 公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长. 3.公式：如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝． 题型1两点间的距离 【方法总结】计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||＝＝求解． (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 【例题1】（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，若与平面交于点E，则AE的长为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1-1】1.（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为___________． 【变式1-1】3.（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，，点M为BD中点，设，，； (1)用向量的线性组合表示向量； (2)求MN的长． 题型2用向量法求点线距 【方法总结】用向量法求点线距的一般步骤 （1） 建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长； （4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 【例题2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D．    【变式2-1】1.（多选）（2022春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点M，N分别为侧棱CC1，DA上的动点，AM⊥平面α.则下列正确的有（　　） A．异面直线AM与B1C可能垂直 B．∠AMD1恒为锐角 C．AB与平面α所成角的正弦值范围为 D．点N到直线BD1距离的最小值为 【变式2-1】2.（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为__________. 【变式2-1】3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台中，平面，，且，，是的中点． (1)求三角形重心到直线的距离； (2)求二面角的余弦值．    【变式2-1】4．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.    【变式2-1】5.（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，