1.2.1&1.2.2空间中的点、直线、平面与空间向量-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.1空间中的点、直线与空间向量1.2.2空间中的平面与空间向量 题型1直线的方向向量 3 题型2向量法求异面直线所成的角 5 ◆类型1求异面直线所成的角 5 ◆类型2已知异面直线所成的角求其他量 7 题型3平面法向量的概念辨析 9 题型4平面法向量求法 10 题型5平面方程的表示 12 题型6利用法向量研究线面位置关系 13 ◆类型1空间向量与平行 13 ◆类型2空间向量与垂直 15 题型7探索性问题 16 题型8最值问题 19 知识点一.平面的法向量 1.平面的法线 与平面垂直的直线叫作平面的法线。 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。 2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量. 注意： （1） 平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. （2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 3.平面法向量的性质 （1）如果直线垂直于平面α，则直线l的任意一个方向都是平面α的一个法向量. （2）如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行 （3）如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即 n=0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 知识点二.直线与平面的位置关系 如果v是直线I的一个方向向量，n是平面α的一个法向量 （1） （2） 知识点三.平面与平面的位置关系 如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量： （1）α1α2； （2）α1//α2,或α1与α2重合 知识点四.三垂线定理及其逆定理 1.射影 已知空间中的平面α以及点A，过点A作α的垂线，设I与α相交于点A ，则A' 就是点A在平面α内的射影（称为投影）．空间中，图形F上，在平面内的所有点，所组成的集合F' 称为图形F在平面α 内的射影。 2.三垂线定理 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。 3.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直 则它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 知识点五.异面直线所成的角 1. 向量求法：若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=_     _____ . 2.范围：（0,] 题型1直线的方向向量 【方法总结】 空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： ①是非零向量； ②向量所在的直线与l平行或重合. 【例题1】（多选）（2021·高二课时练习）[多选题]下列命题中真命题有（    ）． A．直线l的方向向量有无穷多个 B．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 C．若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是直线l的一个方向向量 D．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直 【变式1-1】1．已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量：______． 【变式1-1】2．（多选）（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（    ） A． B． C．与为相交直线或异面直线 D．在向量上的投影向量为 【变式1-1】3（2022秋·全国·高二专题练习）已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是（    ） A． B．6 C．14 D． 【变式1-1】4．（2020秋·北京·高二校考阶段练习）已知空间中两条不同的直线，其方向向量分别为，则“”是“直线相交”的（    ） A．.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】5．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出： （1）直线BC的一个方向向量___________； （2）点OD的一个方向向量___________； （3）的重心坐标___________. 题型2向量法求异面直线所成的角 【方法总结】求异面直线所成角的方法 （1） 基向量法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基向量的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为a与b的方向向量，则cos θ=，根据条件可以把与用基表示，再进行计算. （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线 角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． ◆类型1求异面直线所成的角 【例题2-1】在棱长为1的正方体中，E为