分层作业(6)空间中的点、直线与空间向量)空间中的平面与空间向量-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教B版）

■ 0□00□00 分层作业（六） □口1口口1□ 题 2□2222 空间中的点、直线与空间向量 年级： 学 33333 后 信 4□4口44口4☐ 空间中的平面与空间向量 班级： 位 5555I5 66☐6]66 (满分：101分) 姓名： 7077刀7刀7□ 8□8□88]8 9□99□9□9□ 5.(5分)在长方体ABCD-A'B'C'D'中，CD= ·基础对点练· CB=1,CC'=2,建立如图所示的空间直角坐 1.(5分)已知一直线经过点A(2,3,2),B(-1, 标系，则下列向量是平面DBC'的一个法向量 0,5),下列向量中不是该直线的方向向量的为 的是 () [A](1,1,1) [B](-1,-1,1) [c](-3,-3,3) [D](1,1,-1) [A](1,2,1) [B](2,-2,1) 2.(5分)已知点A(0,1,1),B(1,0,2),C(1,-2,3), [c](1,1,1) [D](2,2,1) D(-1,-2,1),则直线AB,CD的位置关系是 6.(5分)已知直线1的方向向量a=(一1,2,1)， ( ) 平面a的法向量b=(一2，一2,2)，则直线1与 [A]平行 [B]相交 平面a的位置关系是 () [c]重合 [D]异面 CA]L∥a [B]l⊥a 3.(5分)（教材改编题）若异面直线11，l2的方向 [c]lCa [D]l∥a或lCa 向量分别是a=(1,0,-2),b=(0,2,1),则异 7.(5分)已知平面a内有一点A(2,一1,2)，a的 面直线l1,12所成角的余弦值为 ( ) 一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中，在 2 [A 2 B15 平面a内的是 () c726 o25 [A](1,-1,1) e13,》 3 4.(5分)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面AB c1,-3,2》 CD,AB∥DC,∠ADC=90°，AD=AB=3,PD 8.(5分)已知v=(-2,2,5),=(6,-4,4)分别 =4,DC=6,则DB与CP所成角的余弦值为 是平面a,3的法向量，则a与B的位置关系是 ( tA]3/26 [823 9.(5分)在△ABC中，A(1,-2,-1),B(0,-3,1), 26 13 C(2,一2,1).若向量n与平面ABC垂直，且 5 √3 CD] 5 n=√2I,则n的坐标为 11 ■ 19876543210+0.5 13.(5分)已知O为坐标原点，点A(一3，y,2), 10.(13分)已知四棱锥S-ABCD中，四边形AB 平面a的一个法向量为n=(6,一2，z),若OA CD为正方形，SD⊥平面ABCD,且SD=AD ⊥a,则y十之=· □ =1,求异面直线SB与AC间的距离， 9876543210+0.5 14.(13分)如图所示，已知四棱 锥P-ABCD的底面是直角 梯形，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=PB=PC= 2CD,侧面PBC⊥底面AB CD.求证：PA⊥BD ·能力提升练 11.(6分)（多选）已知点P是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB=(2,一1，一4)， AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则下列结 19876543210+0.5 论正确的有 ( [A]AP⊥AB 15.(14分)（创新拔高题）如图 所示，正方形AA1D1D与矩 A [B]AP⊥AD [c]AP是平面ABCD的一个法向量 形ABCD所在平面互相垂 [D]AP∥BD 直，AB=2AD=2,E为AB 12.(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 的中点。 以D为原点，建立空间直角坐标系，点E,F (1)求证：D1E⊥A1D; 分别在棱BB1,CC1上，且B1E=2EB,CF= (2)求证：BD1∥平面ADE. 2FC1,则下列向量中，能作为平面AEF的法 向量的是 () [A](1,-1,3) [B](1,-1,-3) [c](2,-3,6) [D](-2,3,-6) 12图为防.成-(0,2a,-2)·(-a,g,c）=0叶 5.D[由题意得D(1,0,0),B(0,1,0),C'(0,0,2),则DB= (-1,1,0),DC=(-1,0,2). a2-a2=0, 设平面DBC'的一个法向量是n=(x,y,z), 所以B配⊥P市，所以BE⊥PD. 由血成十y=0,◆g=1,则x=2,y=2, (3)由EF∥BD,E点的竖坐标为？。 a,所以F点的竖坐 n.DC=-x+2z=0, 所以平面DBC的一个法向量是n=(2,2,1).] 标为 2a, 6.D[a=(-1,2,1),b=(-2,-2,2),则a·b=2-4+2= 0,故a⊥b,故直线l与平面a的位置关系是l∥a或lCa.故 所以设F(,0。),由范/筋，可得x=,所以存在 选D.] 7.B[对于A,PA=(1,0,1),则PA·n=(1,0,1)·(3,1,2) F(会0，)，能得EF/BD, =5≠0，故排除A; 分层作业（六） 对于B,PA=(1,-4,2),则PAn=(1,-4,2）(3, 1,2)=3-4+1=0,满足题意； 答案速对 对于C,PA=(1,2,）,则Pin=(1,2,2)·(3,1,2) 345 6711 =3+2+1=6≠0，故排除C; D D B:ABC 对于D,PA=(3,-4,),则Pn=(3,-4,2)(3, 8.垂直9.（一2,4,1）或(2，-4，-1)13.-3 1,2)=9-4+7=12≠0，故排除D.故选B.] 8.垂直[由v·u=-2×6-2×4十4X5=0,知v⊥u,所以a 试题精析 ⊥β.] 1.A[由题知，AB=(-3,-3,3),则与向量A方共线的非零 9.(-2,4,1)或(2，-4，-1)[由题意得AB=(-1,-1,2), 向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量(1,1,1)与AB AC=(1,0,2).设n=(x,y,z),因为n与平面ABC垂直，所 不共线，所以不是直线AB的方向向量.] 以·AB=0, 即x-y+2x=0 可得=4；因为 2.D[因为点A(0,1,1),B(1,0,2),C（1,-2,3), n·AC=0, x+2x=0, x=-2z. D(-1,-2,1),所以AB=(1,-1,1),CD=(-2,0,-2), |n=√2I,所以√x+y+2=√21，解得之=1或x=-1. AC=(1,-3,2).因为不存在实数t,使得AB=CD,所以 当之=1时，x=一2，y=4；当x=一1时，x=2,y=一4.所以 AB,CD不共线，直线AB,CD不平行，不重合.故选项A,C n=(-2,4,1)或n=(2,-4,-1).] 不正确 10.解：以D为坐标原点，DA,DC,D5的方向分别为x轴、 假设AB,CD,AC三个向量共面，设AB=λCD十uAC,则 y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz(图略)， 则A(1,0,0),C(0,1,0),S(0,0,1),B(1,1,0),S克=(1,1，-1)， 1=-2λ十4， -1=-3μ，此方程组无解，可得AB,CD,AC三个向量 AC=(-1,1,0). 假设MN为SB与AC的公垂线段，且M∈SB,N∈AC, 1=-2λ+2μ， 则MN⊥SB,MN⊥AC. 不共面，即直线AB,CD不相交，所以直线AB,CD异面，故 选D.] 令SM=AS克，AN=uAC M(,y,z),..SM=(,y,x-1), 3.B[由题知，al=√1+0+(-2)=5，|b=√02+22+1 .(x,y,2-1)=1(1,1,-1), =5,设异面直线，山2所成的角为0，则c0s0=a6 la·bl .x=1,y=λ，z=1-A, 即M(A,A,1-λ). |-22 5X55,故选B] 同理可求得点N(1一μ，4,0). 4.A[以D为坐标原，点，建立如图所示 .MN=(1-入-4,4-入，-1). 又MN⊥SB,MN⊥AC, 的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0, .MN⊥SB,MN⊥AC, 0),B(3,3,0),C(0,6,0),P(0,0,4), 所以DB=(3,3,0),CP=(0,-6,4). 小1-o IDB·CPI 设DB与CP所成的角为a,则cosa =号 IDBIICP 解得 1 1-181=326 =2 √18X√52 26· 故选A.] -(←石-石-）， 1176 m=√）》+（←》+(）- 因为D1E·A1D=-1+0十1=0， 所以D1E⊥A1D,故D1E⊥A1D. 中异南直线5B与△C之间的延高为得 (2)由题意得DA1=(1,0,1),DE=(1,1,0). 11.ABC[因为AP.AB=-2-2+4=0,所以AP⊥AB, 设平面A1DE的一个法向量为n1=(x1y1z1), 所以AP⊥AB,故A正确； 则·DA=0, x1十之1=0， 即 因为AP·AD=-4十4+0=0，所以AP⊥AD,所以AP⊥ m1·DE=0,x1+y1=0. AD,故B正确； 取x1=1,则n1=(1,-1,-1). 因为AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,AB,ADC平面 因为BD1=(-1,-2,1),且BD1·n1=-1+2-1=0, ABCD,所以AP⊥平面ABCD,所以AP是平面ABCD的 所以BD1⊥n1 一个法向量，故C正确； 又因为BD1丈平面A1DE, BD=AD-AB=(2,3,4),AP与BD不平行，故D错误. 所以BD1∥平面ADE 故选ABC.] 分层作业（七） 12.A[设正方体的棱长为1，平面AEF的法向量为n=(x,y,z). 则A1,0,0),E(11,号)，F(01,子) 答案速对 所以花-(1，号)-(-10，）， 2 4 10 C B A ACD 则·A店=0，+ 32=0, 即 n.EF=0, 取x=1,则y=一1，z 6. √130 x+=0， 13 7或号 8.45°11.45°12.60° 3,故n=(1,-1,3).故选A.] 试题精析 13.-3[由题知OA=(-3,y,2), 因为OA⊥a,所以OA∥n,设OA=n(a∈R),则(-3，y,2) 1.A[设1与a所成角为0(0≤0≤)，因为直线1的一个方 =1(6,-2,z), 向向量u=(1,0,1),平面a的一个法向量n=(0,一1,1)，所 -3=6, 1 入= 2, 所以{y=一2λ，解得 所以y十之=一3.] 以sin0=cos(u,n〉|= 1 y=1, √2X√2 2周为00≤受，所以0 2=入z, z=-4, 14.证明：如图，取BC的中，点O,连接AO 2.C[以B为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 交BD于点E,连接PO 因为PB=PC,所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD,平面 E D PBC∩平面ABCD=BC,POC平 面PBC, 所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD内的射影为 AO. 设棱长为1，则B(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,0,1).设E(t,1-t,1), 在直角梯形ABCD中， 0≤t≤1， 由于AB=BC=2CD, 所以A正=(t-1,1-t,1),平面ABCD的法向量为BB=(0,0,1), 易知Rt△ABO≌Rt△BCD, 所以os(BB,A症1=JBB·A应 1 所以∠BEO=∠OAB十∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°， |BB1I|AE1√2(1-t)2+1 即AO⊥BD. 由三垂线定理，得PA⊥BD e图小， 15.证明：(1)由题意可得D1D⊥平面 则AE与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围 ABCD,以D为坐标原点，DA,DC, DD1所在直线分别为x抽、y轴、之 *停小 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 对比各选项，C项不可能.] Dxyz.则D(0,0,0),A1（1,0,1), 3.C[易知∠ABA为二面角A1-BC-A的平面角， D1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0), 所以D1E=(1,1,-1),A1D=(-1,0,-1), 所以A,aM-侣-是] 7711