专题 根的判别式与根与系数的关系-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 专题 根的判别式与根与系数的关系 题型一 利用根的判别式判断根的情况 1．（2023•济宁一模）一元二次方程x2﹣x+3＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2023•镇平县三模）关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 3．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 4．（2022•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况 为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 5．（2023•虞城县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 6．（2022•桑植县模拟）对于4个实数a、b、c、d给出一种新的运算，定义ad﹣bc． 例如：8×5﹣9×3＝40﹣27＝13，则方程9的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型二 利用根的判别式求字母的值或取值范围 1．（2023•瓯海区模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的取值为（　　） A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝4 D．a＝﹣4 2．（2023•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A．且k≠﹣1 B．且k≠﹣1 C． D． 3．（2023•榆阳区校级二模）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k＝1有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）当k＝1时，求原方程的解． 4．（2023春•西城区校级月考）已知关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）当m取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 5．（2022秋•平度市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2＝0． （1）若该方程的一个根为，求实数m的值； （2）若该方程有实数根，求实数m的取值范围． 6．（2022秋•海门市期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取最小整数时，求x的值． 题型三 利用根的判别式证明方程一定有根或无根 1．（2022秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．求证：此方程一定有实数根． 2．（2022春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0． （1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 3．（2023春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 4．（2023•昌平区二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 5．（2023春•涡阳县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 题型四 利用根的判别式解决与三角形有关的问题 1．已知a，b，c是△ABC的三边，且方程以c（1﹣2x）﹣（x2﹣2x+1）b+ax2＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并证明你的结论． 2．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝7，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求三角形的周长． 3．（2022秋•南海区期中）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b＝c，恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 4．（2022•十堰模拟）