21.2.4一元二次方程判别式及根与系数关系的综合练习 2024-2025学年人教版数学 九年级上册

一元二次方程判别式及根与系数关系的综合练习 答案和解析 1.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； ，此时原方程为， 即， 解得：，．  【解析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：根据根的个数结合根的判别式得出关于的一元一次不等式；选取的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程不等式或不等式组是关键． 由方程有两个不相等的实数根即可得出，代入数据即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； 结合结论，令，将代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论答案不唯一． 2.【答案】解：，无论取何值，它总有实数根 当是等腰三角形的底时，则，即，解得，则方程为，解得．，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为 当是等腰三角形的腰时，则是方程的一个根，将代入，得，解得，此时方程变为，解得，．，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为． 综上所述，当为时，三角形的周长为当为时，三角形的周长为．  【解析】略 3.【答案】【小题】 证明：因为关于的方程中，，，，  所以，  所以方程总有两个不等的实数根． 【小题】   【解析】 略  略 4.【答案】解：根据题意得， 解得； ，， ， ， 而， ，， ， ，即， 整理得，解得，， 而， ．  【解析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； 根据根与系数的关系得到，，则判断，，则由得到，所以，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的值． 5.【答案】证明：， ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 解：由求根公式，可得 ， ，， 方程的两个实数根都是整数， 或   【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 计算判别式得到，即可根据判别式的意义得到结论，； 利用公式法表示出方程的两个根，再进一步由方程有整数根探讨得出的数值即可． 6.【答案】证明：， 无论取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根． 解：， ， ，． 两直角边的长为和，斜边的长为． ． 解得不符合题意，舍去，． 的值为．   【解析】见答案 7.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得：， 的取值范围为． 关于的一元二次方程有两个实数根，， ，． ， 当时，有， 联立解得：，， ，； 当时，有， 联立解得：，不合题意，舍去． 符合条件的的值为．  【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论； 由根与系数的关系可得、，分和可找出或，联立或求出、的值，进而可求出的值． 8.【答案】解：由题意得， 要使方程有两个不相等的实数根，需要， 即，解得， 即时，方程有两个不相等的实数根． ，是关于的一元二次方程的两个根， ，． ，为菱形的对角线， ，互相垂直并且平分， ， ， ， ， ， 解得，，． ， 不合题意，舍去， 的值为．  【解析】若方程有两个不相等的实数根，则有，得到关于的不等式，求解即可； 由根与系数的关系得出，根据菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理得出，那么，由此得出关于的方程，解方程即可． 此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系： 当时，方程有两个不相等的两个实数根； 当时，方程有两个相等的两个实数根； 当时，方程无实数根． 也考查了菱形的性质，勾股定理以及根与系数的关系． 9.【答案】【小题】 设，则原方程可化为，． 当时，为原方程的增根，此时原方程可化为，解得，若使原方程有实数根，则． 当，方程为一次方程时，即，若，方程的解为，原方程的解为，满足条件；若，方程的解为，原方程的解为，满足条件，． 当，方程为二次方程时，，则，要使方程有解，则，解得，此时原方程没有增根，的取值范围是综上所述，当且时，方程有实数根． 【小题】 设，，则，是方程的两个实数根，由根与系数的关系得，，解得或由知且，．   【解析】 见答案  见答案 10.【答案】【小题】 解：，把“”看成“未知数”， ， ， 解得或， 当时，解得； 当时，解得，，经检验得出，都是方程的解． 综上所述，方程的解为，，． 【小题】 解：把方程变形为关于的一元二次方程， 则， 由公式法得，即或． 或． 关于的方程有且只有一个实数根， 方程没有实数根，即， ，解得． 的取值范围是．   【解析】 本题主要考查解一元二次方程，理解阅读材料的方法是解题的关键． 仿照阅读材料的方法，把“”看成“未知数”，原方程可化为，利用公式法求出或，再进一步解方程即可得出原方程的解．  本题主要考查解一元二次方程，根的判别式，理解阅读材料的方法是解题的关键． 将看成是“未知数”，利用公式法求出或根据关于的方程有且只有一个实数根，推出方程没有实数根，即，进而可求出的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程判别式及根与系数关系的综合练习 姓名：_________________________ 1.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围 写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根． 2.已知关于的方程． 求证：无论取何值，它总有实数根 若等腰三角形的一边，另外两边的长为方程的根，求的值及三角形的周长． 3.已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 4.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． 求实数的取值范围； 若方程的两实数根，满足，求的值． 5.关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根 要使得方程的两个实数根都是整数，求的可能取值． 6.已知关于的一元二次方程． 求证：不论取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； 若此方程的两根是两直角边，的长，斜边的长为，求的值． 7.已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 8.已知，是关于的一元二次方程的两个根． 当取何值时，原方程有两个不相等的实数根？ 若以，为对角线的菱形边长是，试求的值． 9.已知关于的方程． 求的取值范围，使得方程有实数根； 若原方程的两个相异的实数根为，，且，求的值． 10.阅读材料： 我们在解决数学问题时，如果从某一角度用某种方法难以奏效，不妨换一个角度去思考，换一种方法去处理，这样有可能使问题“迎刃而解”例如解方程：，这是一个高次方程，我们未学过其解法，难以求解．如果我们换一个角度“已知”和“未知”互换，即将看成“未知数”，而将看成“已知数”，则原方程可整理成 ，则， 解得或． 故方程可转化为一个一元一次方程和一个一元二次方程，从而不难求得这个高次方程的解． 解决问题：解方程：． 已知关于的方程有且只有一个实数根．求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$